Дискретно-непрерывная математика (стр. 101 )

Отсюда выводятся тригонометрические формулы двухступенчато­го движения в векторной трактовке. Например, векторный синус в трёх тождественных вариантах записи имеет вид:

(135А)

где еσ = {cos σk} — единичный вектор направляющих косинусов суммар­ного гиперболического движения;

(136А)

- единичный вектор направчяющих косинусов условно ортогонального приращения общего движения по отношению к еα, то есть к вектору первого движения. Имеем соотношение ортогональности:

(137А)

Единичный вектор еη в дальнейшем широко используется при биортогональных разложениях приращений движения, в том числе дифференциальных или связанных с физическим ускорением (общим, тангенциальным и нормальным). Естественным образом он выводится из биортогонального представления второго вектора в сумме:

Соответственно вектор применяется для обратного порядка суммирования движений (см. далее). Из векторных формул (135А) и скалярной формулы (122А) получаем родственные векторные соотношения для тангенсов (координатных скоростей):

Геометрическая интерпретация синусных формул (135А), (124А) сводится к следующему. Второй гиперболический отрезок γ23 совместно с его синусной ортопроекцией на разлагается на две проекции

- параллельно и перпендикулярно γ12(sh γl2). Эти проекции, в свою очередь, проецируются на параллельно именно:

где

Тангенсные формулы (138А), (125А) получаются в результате того же разложения γ23 совместно с его тангенсной проекцией на с

последующим перекрёстным проецированием указанных проекций на параллельнос учётом поправки на изменение знаменателя - косинуса (или релятивистской поправки ко времени). В итоге исходные гиперболические отрезки γ12 и γ23 отображаются в однородных координатах Это будет рассмотрено далее на модели Клейна.

Итак, векторы синуса и тангенса итогового двухступенчатого гиперболического движения вразлагаются биортотонально на

проекции — параллельные и условно перпендикулярные еα. В связи с этим ортопроекции, согласно (124А) и (125А), подчиняются теореме Пифагора. Это важное свойство векторов общего движения sh γ13, th γ13 и v13 объединяет в определённой степени евклидову и неев­клидовы гиперболическую и сферическую геометрии. Различие здесь состоит лишь в том, что в евклидовой геометрии (где частные векторы суммируются коммутативно) теореме Пифагора подчиняются ортопроекции векторов синуса и тангенса общего движения как на еα и еη, так и на еβ и , а в неевклидовой геометрии - только на еα и еη (при прямом порядке последовательности частных движений) и наоборот - на еβ и (при обратном их порядке). Таким образом, установлена теорема о приведении произвольной суммы двух движений к биортогоналъной (квадратичной) форме — коммутативной для евкли­довой геометрии и некоммутативной для неевклидовой геометрии. Кроме того, в неевклидовой геометрии указанная специальная теорема (для ортопроекции и модулей векторов синуса и тангенса) действует именно в то есть в универсальном базисе.

Отмеченное геометрическое свойство формально позволило Пуанкаре и Эйнштейну вывести известным способом релятивистский закон суммирования двух неколлинеарных скоростей в векторной и скалярной формах, не нарушая общности выводов, при исходных

Ортогональные проекции векторов двух скоростей (по оси х, и по осям х2, х3) были приняты ими независимыми и просуммированы (что позволяет вышеуказанная теорема). Положим в векторной формуле (138А) значения параметров:

где v = 30 км/сек - орбитальная скорость движения Земли. Имеем:

где - истинные и кажущиеся углы наблюдения

какого-либо светила на небесной сфере. Отсюда следуют общие релятивистские формулы для аберрации:

В частности, приотсюда следует формула

Эйнштейна для аберрации. Данное планетарное явление, согласно СТО, тождественно трактуется с точек зрения крайних мгновенных инерциальных систем, связанных либо с Землёй, либо со светилом, так как результат сложения двух скоростей в них одинаков. Классическая трактовка Эйнштейна сводит суть аберрации к изменению направления вектора суммарной скорости при движении Земли в противоположных направлениях в Солнечной системе. Это отвечает вышеуказанным общим формулам. Однако в ряде последующих работ аберрация стала трактоваться, на наш взгляд, неверно - исходя из сферического дефекта θ в гиперболическом треугольнике скоростей, то есть аналогично прецессии Томаса. В данном случае ортосферический сдвиг θ выражает соответствующую прецессию звездного диска, которая может только иногда совпадать по величине с аберрацией (то есть имеет иной смысл).

Из формул (135А), (136А) следует, что еσ и еη - линейные комбинации еα и еβ. Поэтому все 4 вектора условно лежат в одной и той же евклидовой плоскостиПовторяя эти рассуждения для обратного порядка последовательности движений, получаем аналогичные соотно­шения и выводы, но уже с первым исходным вектором еβ и со вторым исходным вектором еα. Вектор ортогонального приращения общего движения определяется в форме, аналогичной (136А):

(139А) (140А)

Новые векторы направлены в декартовом суб-

базисе по , но их модули остались прежними. Векторы и - также линейные комбинации еα и еβ, и лежат в той же С другой стороны, ротация (113А) осуществляется в тригонометрической плос­кости матрицы rot Θ13. Следовательно, последняя тождественна

Матрицу rot Θ 13 можно вычислить сразу же в канонической форме (497). Нормальная ось сферической ротации rN находится через векторное (синусное) произведение (499) применительно к любой паре из набора характеристических единичных векторов; например, для двухступенчатого движения — через еα и еβ. При изменении порядка последовательности движений на обратный каждый характеристический единичный вектор заменяется на свой спарринг-вектор. Все шесть характеристических векторов расположены в в пределах угла π.

Из (136А) и (139А) следует, что

(141А) (142А)

Кроме того, векторы , еσ и rN должны образовывать правую тройку в чтобы соответствовать принятому направлению отсчёта угла θ

против часовой стрелки. В свою очередь, значение cos θ13 в структуре (497) вычисляется через соотношения (113А), (135А) и реверсивный аналог последнего. В итоге (релятивистский) сферический сдвиг отно­сительно исходного в косинусном варианте составляет: