Дискретно-непрерывная математика (стр. 22 )

где — произвольные отличные от нуля числа.

Тогда (как легко видеть)

— ортогональный ряд, эквивалентный ряду λ. Теорема 2 доказана. Согласно (196)

Полагая получим для векторов проортогонализированного ряда следующие формулы:

(213)

В силу (197)

(214)

Поэтому, полагая

(215)

получим ортонормированный ряд Z, эквивалентный данному ряду X.

Пример. Определим скалярное произведение в пространстве кусочно непрерывных в интервале [—1, +1] вещественных функций равенством

Рассмотрим невырожденный ряд «векторов»

Проортогонализируем его по формулам (213):

Эти ортогональные между собой многочлены с точностью до постоянных множителей совпадают с известными многочленами Лежандра:

Тот же ряд степеней 1, х, ха, ... при другой метрике

даст другой ряд ортогональных многочленов.

Так, например, при получаются многочлены Чебышева:

При

получаются многочлены Чебышева—Эрмита

и т. д.

2. Отметим еще так называемое неравенство Бесселя для ортонормированного ряда векторов Пусть дан произвольный вектор х. Обозначим через ξр проекцию этого вектора да орт zp:

Тогда проекция вектора х на подпространство представится в виде

Но Поэтому для произвольного р

(216)

Это — неравенство Бесселя.

В случае конечномерного пространства п измерений это неравенство имеет геометрический смысл. При р = п оно переходит в равенство Пифагора

В случае бесконечномерного пространства и бесконечного ряда Z из (216) следуют сходимость ряда и неравенство

Составим ряд

р-й отрезок этого ряда (при любом р)

равен проекции хSp вектора х на подпространство и потому является наилучшим приближением для вектора х в этом подпространстве:

где с1, с2,...,ср — произвольные комплексные числа. Вычислим соответству­ющее квадратичное отклонение δр:

Отсюда

Если

то говорят, что ряд

сходится в среднем (сходится по норме) к вектору х.

В этом случае для вектора х из R имеет место равенство (теорема Пифагора в бесконечномерном пространстве!)

(217)

Если для любого вектора х из R ряд

в среднем сходится к вектору х, то ортонормированный ряд векторов z1, z2…. называется полным. В этом случае, заменяя в (217) х на х + у и используя равенство (217) трижды, для векторов х + у, х и у мы легко получим:

(218)

Пример. Рассмотрим пространство всех комплексных функций f(t) (t — веществен­ный аргумент), кусочно непрерывных в замкнутом интервале [0, 2π].

Скалярное произведение двух функций f(t) и g(t) определим формулой

В частности,

Возьмем бесконечную последовательность функций

Эти функции образуют ортонормированный ряд, так как Ряд

сходится в среднем к функции f(t) в интервале [0, 2π]. Этот ряд называется рядом Фурье для функции f(t), а коэффициенты — коэффициентами Фурье для f(t).

В теории рядов Фурье доказывается, что система функций является полной.

Условие полноты дает равенство Парсеваля [см. равенство (218)]

Если f(t) — вещественная функция, то f0 вещественно, а fk и f-k — комплексно сопря­женные числа (k = 1,2, .. .). Полагая

где

будем иметь:

Поэтому для вещественной функции f(t) ряд Фурье принимает вид

11.22. Ортонормированный базис

Базис любого конечномерного подпространства S в унитарном или евкли­довом пространстве R является невырожденным рядом векторов и потому согласно теореме 2 предыдущего параграфа может быть проортогонализирован и пронормирован. Таким образом, в любом конечномерном подпространстве S (и, в частности, во всем пространстве R, если оно конечномерно) существует ортонормированный базис.

Пусть — ортонормированный базис пространства R. Обозначим через х1, х2, ..., хп координаты произвольного вектора х в этом базисе:

Умножая обе части этого равенства справа на еk и учитывая ортонормированность базиса, легко найдем:

т. е. в ортонормированием базисе координата вектора равна скалярному произ­ведению его на соответствующий базисный орт

(219)

Пусть суть соответственно координаты одного и того же вектора х в двух различных ортонормированных базисах е1, е2,..., еп и унитарного пространства R. Формулы преобразования координат имеют вид

(220)

При этом коэффициентыобразующие k-й столбец матрицы являются, как нетрудно видеть, координатами вектора в базисе Поэтому, записывая в координатах [см. (184)] условия ортонормированности базиса получим соотношения