Дискретно-непрерывная математика (стр. 28 )

(274)

Мы получили формулы К э л и. Эти формулы устанавливают вза­имно однозначное соответствие между произвольными эрмитовыми операторами F и теми унитарными операторами U, у которых среди характеристи­ческих чисел нет — 1. (Особую точку —1 можно заменить любым числом. Для этого вместо (272) надо взять дробно-линейную функцию, отображающую вещественную осьна окружность и переводящую точку f=∞ в точку μ = μ0. При этом соответствующим образом видоизменятся формулы (273) и (274)).

Формулы (265), (266), (267) и (274) будут верны и тогда, когда мы в них все операторы заменим соответствующими матрицами.

Пользуясь полярным разложением матрицы А ранга r:

(275)

и формулой (249)

(276)

можно произвольную квадратную матрицу А ранга r представить в виде произведения

(277)

где — унитарные матрицы — диагональная матрица

(278)

в которой диагональные элементы являются характеристическими числами правого модуля (а следовательно, и левого модуляматрицы А.

Формулу (277) можно записать в виде

(279)

где X и Y — п × r - матрицы, образованные первыми r столбцами унитарных матриц U и V*, а ∆ — диагональная матрица r-го порядка:

(280)

Пусть теперь А — произвольная прямоугольная т×п - матрица ранга r. Примем сначала, что т≤п. Дополним матрицу А нулевыми строками до квадратной матрицы A1, после чего применим формулу

(281)

Представим п × r - матрицу Х1 в виде

Тогда из равенства (281) найдем:

(282)

и

(283)

Умножим обе части этого равенства справа на Y. Тогда, поскольку Y*Y= E, получим: Но тогда столбцы матрицы X, как и столбцы матрицы Y, унитарно-ортогональны между собой и нормированы.

Случай т ≥ п сводится к случаю т≤п, если применить сначала формулу к матрице А*, а затем из полученного равенства определить матрицу А. Мы установили следующую теорему:

Теорема 9. Произвольная прямоугольная т×п-матрща ранга r всегда представима в виде произведения

(284)

где X и Y — унитарные по отношению к столбцам прямоугольные матрицы соответственно размеров — диагональная матрица r-го порядка с положительными диаго­нальными элементами (— отличные от нуля характеристические числа матрицы)

Полагаямы приходим к ранее установленному разложению

(285)

где матрицы В и С имеют соответствующие размеры Однако доказанная теорема дает уточнение этого разложения. Она утверждает, что множители В и С могуг быть выбраны так, чтобы в матрице В все столбцы, а в матрице С все строки были унитарно-орто­гональны между собой.

11.28. Линейные операторы в евклидовом пространстве

Рассмотрим п-мерное евклидово пространство R. Пусть дан произвольный линейный оператор А в R.

Определение 10. Линейный оператор А' называется транспонирован­ным оператором для оператора А, если для любых векторов х и у из R:

(286)

Существование и единственность транспонированного оператора устанав­ливаются совершенно аналогично тому, как это делалось в п.11.23 для сопряженного-оператора в унитарном пространстве.

Транспонированный оператор обладает следующими свойствами:

Введем ряд определений.

Определение 11. Линейный оператор А называется нормальным, если

Определение 12. Линейный оператор S называется симметрическим, если

Определение 13. Симметрический оператор S называется неотри­цательным, если для любого вектора х из R

Определение 14. Симметрический оператор S называется положи­тельно определенным, если для любого вектора х ≠ 0 из R

Определение 15. Линейный оператор К называется кососимметри-ческим, если

Произвольный линейный оператор А всегда представим, и притом одно­значно, в виде

(287)

где S — симметрический, а К — кососимметрический оператор. Действительно, из (287) следует:

(288)

Из (287) и (288) вытекает:

(289)

Обратно, формулы (289) всегда определяют симметрический оператор S и кососимметрический К, для которых имеет место равенство (287).

S и К носят название симметрическая и кососимметрическая компонента оператора А.

Определение 16. Оператор О называется ортогональным, если он сохраняет метрику пространства, т. е. если для любых векторов х, у из R

(290)

Равенство (290) в силу (286) можно переписать так: (х, О'Оу) = (х, у). Отсюда следует:

(291)

Обратно, из (291) вытекает (290) (при произвольных векторах х, у).

Ортогональные операторы в евклидовом пространстве образуют группу (эту группу называют ортогональной).

Из (291) следует:т. е.

Мы будем ортогональный оператор О называть оператором первого рода, если и второго рода, если

Симметрический, кососимметрический, ортогональный операторы суть частные виды нормального оператора.

Рассмотрим произвольный ортонормированный базис в данном евклидо­вом пространстве. Пусть линейному оператору А в этом базисе соответствует матрица (здесь все aik — вещественные числа). Транспонированному оператору А' отвечает в этом же базисе транспонированная матрица где Отсюда вытекает, что в ортонормированном базисе нормальному оператору А отвечает нормальная матрица.симметрическому оператору S