Дискретно-непрерывная математика (стр. 65 )

Эти слагаемые суть сингулярные симметричные матрицы. Зеркало

срединного рефлектора есть подпространство

Согласно (176), срединный рефлектор теоретически выражается как

(247)

Покажем, что зеркало данного рефлектора расположено действительно посередине между зеркалами планаров, образующих тензорный угол. Для этого получим срединный рефлектор либо ротацией рефлектора первого планара на уголлибо ротацией рефлектора второго

планара на уголкак двухвалентных тензоров В соответствии

с принципом бинарности имеем:

Здесь подпространству соответствует либо отрицательный

единичный блок (2r < n), либо положительный единичный блок (2r > n), либо этот блок отсутствует (2r = n). Простые матрицы опреде­ляются как тригонометрически согласованные, если они приводятся к W-форме одной и той же структуры в общем базисе. Причём, как известно, нормальные матрицы приводятся к ней ортогональным преобразованием, обозначаемым далее как RW.

Правило №2. Тригонометрически согласованные ротационные матрицы одного и того же вида, например сферические, коммута­тивны. При этом в их произведениях тензорные углы-аргументы моторного типа образуют алгебраическую сумму.

Правило № 3. Ротационная сферическая матрица переносится через сферически ортогональный рефлектор (при их тригонометри­ческой согласованности) с изменением знака её угла-аргумента.

Эти правила получают также непосредственным путём с исполь­зованием принципа бинарности. Кроме того, имеем:

Следствие. Согласованная ротация рефлектора как двухвалентного тензора на угол Ф тождественна его ротагщи как одновалентного тензора на угол 2Ф.

Кроме того, для согласованных рефлекторов справедливо наиболее полное обобщение утверждений (243) и (244):

Множество тригонометрически согласованных матриц включает в себя, например, все матрицы, производимые аналитической функцией от пары антикоммутативных простых матриц. Если в (243) и (245) в качестве второго линеора взятьгде

то с учётом (98) и (99) имеем:

(249)

На множестве матриц <R12>, выполняющих указанную операцию, матрица Rot Ф12, получаемая однозначно из (245), имеет тригоно­метрическое подпространство минимальной размерности. Именно она тригонометрически согласована со следующими рефлекторами:

С учётом Правила №3 справедлива общая формула: (250)

В указанном случае множество <R12> не произвольно. А именно: где Θ12 - сферический угол ортогональной ротации по отношению к Ф12, или ортосферическийугол. Для тензорных углов этих двух типов и только для них выполняются соотношения:

Соотношения (251) лежат в основе как ротационной квазиевклидовой тригонометрии с вышеуказанным срединным рефлектором в качестве вводимого независимо рефлектор-тензора, так и внешней сферической геометрии. Последняя по существу есть общая геометрия постоянной положительной кривизны (со сферической тригонометрией в ней). Эта геометрия реализуется на специальном гиперсфероиде, вложен­ном в квазиевклидово пространство, задаваемое рефлектор-тензором и евклидовой метрикой.

В тригонометрической форме срединный рефлектор представля­ется в виде:

Нетрудно видеть, что срединный рефлектор определяется одно­значно при заданной канонической форме проективного косинуса (237). Ориентация тензорного угла не имеет значения. В тригонометрическом базисе видно, что срединный рефлектор осуществляет операцию орто­гонального отражения (рефлексии) относительно подпространства, задаваемого координатными осями ui (то есть зеркала):

В проективной версии тензорной тригонометрии все рефлекторы согласуются по формулам типа:

(252)

В квазиевклидовой тригонометрии срединный рефлектор с макси­мальным тригонометрическим рангом задаёт не только тригоно­метрический базис, но и рефлектор-тензор пространства <Q n+q>:

13.7. Тригонометрическая теория простых корней

Далее выясним связь тензорной тригонометрии с теорией корней

Простой квадратный корень и он же рефлектор приводится модальным преобразованием к блочно-единичной форме:

Определим тригонометрический ранг матрицы как Это фактически размерность тригонометрического подпространства любой тригонометрической матрицы. Выделим симметричные корни Пусть— пара независимых симметричных корней. Полагаем

Откуда с учётом (163), (171), (176) и (177) получаем:

(254)

(255)

Если исходные корни имеют один и тот же тригонометрический ранг, то однородные проекторы эквиранговые и обратно.

Следствия

1. Симметричный кореньзадает взаимно-однозначно сфе­рически ортогональные проектор и рефлектор, а также прямой тен­зорный угол одного и того же тригонометрического ранга.

2. Пара симметричных корней задает ввзаимно­ однозначно тензорный угт Ф12 и его тригонометрические функции. Если же исходные корни имеют один и тот же тригонометрический ранг, то .

3. Пара симметричных корней всегда представима в

в W-форме одной и той же структуры, согласно (254), в одном и том же ортонормированном базисе {RW} при исходном декартовом

базисе

Далее выделим простые несимметричные корниПусть

координаты корней даны также в в некотором исходном ортонорми­рованном базисе {R}. Полагаем

(256)

Откуда с учётом (198), (203), (211), (212) имеем:

(257)

(258)

Исходные корни всегда имеют один и тот же тригонометрический ранг. Между простым корнем согласно (256), имеется взаимно-однозначное соответствие. Они же однозначно задают эквиранговые ортопроекторы в (253), при этом или ортопроекторы при этом det cos и пару симметричных корней при этом