Дискретно-непрерывная математика (стр. 8 )

Применяя к обеим частям этого равенства оператор А, получим:

(62)

Умножим обе части равенства (61) λ1 и вычтем почленно (61) из (62). Тогда получим:

(63)

Можно сказать, что равенство (63) было получено из (61) путем почлен­ного применения оператора А — λ1Е. Применяя к (63) почленно операторы мы придем к следующему равенству:

откуда ст = 0. Так как в (61) любое слагаемое может быть поставлено на последнее место, то в (61)

т. е. между вектораминет линейной зависимости. Лемма доказана.

Если характеристическое уравнение оператора имеет п различных корней и эти корни принадлежат полю К, то на основании леммы собственные век­торы, соответствующие этим корням, линейно независимы.

Определение 11. Линейный оператор А в R называется оператором простой структуры, если А имеет в R п линейно независимых собственных векторов, где п — число измерений.

Таким образом, линейный оператор в R имеет простую структуру, если все корни характеристического уравнения различны между собой и принад­лежат полю К. Однако это условие не является необходимым. Существуют линейные операторы простой структуры, у которых характеристический много­член имеет кратные корни.

Рассмотрим произвольный линейный оператор А простой структуры. Обозначим через базис в R, состоящий из собственных векторов оператора, т. е.

Если

Другими словами, воздействие оператора А простой структуры на вектор может быть описано следующим образом:

В п-мерном пространстве R существует п линейно независимых «направ­лений», вдоль которых оператор простой структуры А осуществляет «растя­жение» с коэффициентами Произвольный вектор х может быть разложен на компоненты, идущие вдоль этих собственных направлений. Эти компоненты подвергаются соответствующим «растяжениям», после чего они в сумме дают вектор Ах.

Нетрудно видеть, что оператору А в «собственном» базисе соответствует диагональная матрица

Если мы через А обозначим матрицу, отвечающую оператору А в произ­вольном базисе то

(64)

Матрицу, подобную диагональной, будем называть матрицей простой структуры. Таким образом, оператору простой структуры в любом базисе отвечает матрица простой структуры и наоборот.

Матрица Т в равенстве (64) осуществляет переход от базиса к базису В k-м столбце матрицы Т стоят координаты (в базисе собственного вектора gk, соответствующего характеристическому числу λk матрицы Матрица Т называется фундаментальной

матрицей для матрицы А.

Равенство (64) перепишем так:

(64')

Переходя к р-м ассоциированным матрицамполучим:

(65)

— диагональная матрица N-гo порядка у которой на главной диагонали стоят всевозможные произведения по р из Сопоставление (65) с (64') дает нам теорему:

Теорема 3. Если матрицаимеет простую структуру, то при любом р≤п и ассоциированная матрица также имеет простую струк­туру; при этом характеристическими числами матрицы являются все­возможные произведения по из харак­теристических чисел λ1, λ2, …,λп матрицы А, а фундаментальной матрицей матрицы является ассоциированная для фундаментальной матрицы Т матрицы А.

Следствие. Если характеристическому числу λk матрицы простой структуры отвечает собственной вектор с координатами , то характеристическому числу матрицы отвечает собственный вектор с координатами

(66)

Произвольную матрицуможно представить в виде предела последовательности матрицкаждая из коюрых не имеет кратных характеристических чисел и потому имеет простую структуру. Характеристи­ческие числа матрицы Ат в пределе при т→∞ переходят в характеристические числа матрицы А, т. е.

Отсюда

Так как, кроме того,то из теоремы 3 вытекает

Теорема 4 (Кронекера). Если— полная система

характеристических чисел произвольной матрицы А, то полная система харак­теристических чисел ассоциированной матрицы состоит из всевозможных произведений по р из чисел

В этом параграфе мы исследовали операторы и матрицы простой струк­туры. Изучение структуры операторов и матриц общего типа будет проведено в микромодулях 27 и 28.

Микромодуль 27

Структура линейного оператора в n-мерном пространстве

Изложенная ранее аналитическая теория элементарных де­лителей дала нам возможность для любой квадратной матрицы определить подобную ей матрицу, имеющую «нормальную» или «каноническую» форму. С другой стороны, в микромодуле 26 мы видели, что поведение линейного оператора в п-мерном пространстве в различных базисах задается при помощи класса подобных матриц. Наличие в этом классе матрицы, имеющей нормальную форму, тесно связано с важными и глубокими свойствами линейного оператора в п-мерном пространстве. Изучению этих свойств посвящен настоящий микромодуль. Исследование структуры линейного оператора приводит нас к теории преобразования матрицы к нормаль­ной форме. Поэтому содержание настоящего микромодуля может быть названо гео­метрической теорией элементарных делителей.

11.9. Минимальный многочлен вектора, пространства

Рассмотрим п-мерное векторное пространство R над полем К и линей­ный оператор А в этом пространстве.

Пусть х — произвольный вектор из R. Составим ряд векторов

(67)

В силу конечномерности пространства найдется такое целое число что векторы линейно независимы, а Арх есть линейная комбинация этих векторов с коэффициентами из поля К:

(68)

Составим многочлен