Дискретно-непрерывная математика (стр. 71 )

В случае ориентированного псевдоевклидова пространства для приведения Roth Г к W-форме используется матрица RW, выходящая из множества матриц, согласованных с рефлектор-тензором Но заметим, что некотсюая модальная матрица RW приводит совместно Roth Г к W-форме и к D-форме:

так как, согласно (330),

и действует Правило № 3.

13.16. Скалярная тригонометрия на псевдоплоскости

Диагональный рефлектор-тензор (см выше) отвечает неориен-

тированному пространству, бинарная структура которого согласована с координатными осями. В тригонометрическом базисе гиперболическая ротационная матрица Roth Г имеет каноническую W-форму (324). С другой стороны, для i-й 2×2-клетки две асимптоты квадрогиперболы, или главная и побочная диагонали тригонометрического базиса на i-й псевдоплоскости (рис. 3) задают две координатные оси её же диагональной формы. Ввиду согласованности рефлектор-тензора с ротационными матрицами эти две асимптоты с квадрогиперболой остаются на месте при гиперболическом ротационном преобразовании соответствующей им псевдоплоскости. В исходном псевдоевклидовом пространстве размерности более двух этим геометрическим объектам, как известно, отвечают изотропный конус (асимптотическое плоское подпространство) и вложенные в него полостные гиперболоиды. На какой-либо i-й псевдоплоскости данного пространства, рассекающей гиперболоиды по квадрогиперболе (рис. 3), осуществляется чисто гиперболическая ротация, соответствующая i-й 2×2-клетке Roth Г.

Отсчёт значений скалярных собственных углов γi выполняется во всех гиперболических квадрантах в направлении к главной диагонали. Гиперболический угол γ, как известно, измеряется либо псевдоевклидовой длиной дуги гиперболы, либо удвоенной площадью гиперболического сектора на псевдоплоскости (при

Здесь единичный радиус-вектор всегда гиперболически ортогона­лен своей гиперболе в точке касания. В частности, он и касательная задают новые гиперболически связанные оси координат. Фокусу гиперболы соответствует особый скалярный гиперболический угол рад; . Согласно синус-тангенсной аналогии конкретного типа, Например,

Другой вид сферическо-гиперболической аналогии конкретного типа в устанавливается через отношение изоморфизма между кажущимся сферическим углом φR и гиперболическим углом γR, если принять, что они задаются на плоскости/псевдоплоскости одним и тем же радиус-вектором (рис. 3). Указанная тригонометрическая аналогия определяется исходно через тождество тангенсов

(354) Другие функции связаны соотношениями:

(355)

Данное соответствие определяется как сферическо-гиперболическая тангенс-тангенсная аналогия. Например, . В принципе,

возможно бесконечное количество вариантов аналогий конкретного типа, но все они сводятся к тождествам вида

Здесь

Практический интерес представляют 4 варианта:

Если конкретную аналогию применить в первом и втором вариантах соместно, то чисто геометрически решаются (с помощью циркуля и линейки) задачи удвоения и бисекции гиперболического угла в универсальном базисе (рис. 3)

В этом случае имеет место неравенство

(357)

Действительно,

В тензорной тригонометрии представляет особый интерес именно синус-тангенсная аналогия. Она устанавливает непосредственную взаи­мосвязь в любом универсальном базисе между преобразованиями и углами в квартовом круге (341). С применением синус-тангенсной аналогии устанавливаются тригонометрические формулы для плоского гиперболически прямоугольного треугольника. Последний определяет­ся как треугольник на псевдоплоскости, у которого две стороны-катеты «а» и «b» принадлежат различным собственным подпространствам рефлектор-тензора, то есть с собственными значениями «+1» и «—1». Катеты образуют прямой угол (в гиперболической метрике). Против него лежит гипотенуза «g». Если |b| > |а|, то гипотену­за треугольника находится внутри изотропного конуса и g2 = b2 — а2 (внутренний треугольник). Если |a| > |b|, то гипотенуза треугольника находится вне изотропного конуса и g2 = а2 - b2 (внешний треугольник). Если |a| = |b|, то гипотенуза лежит на поверхности изотропного конуса и g = 0. Против катета с меньшим модулем > лежит угол γ. Против катета с большим модулем maximod <a, b> лежит угол λ. (Гипотенуза g в зависимости от её положения относительно изотропного конуса времениподобна или пространствуподобна ) Имеем:

(358)

Здесь и далее γ и λ - основной и допопнитечьный гиперболические углы. Они не равноценны в отличие от φ и ξ - основного и дополнительного сферических углов. В прямоугольном треугольнике на плоскости/псевдоплоскости синус-тангенсная аналогия устанавливает взаимно­однозначное соответствие между его тремя углами (в базисе

(359)

(360)

13.17. Элементарные тензорные гиперболические тригонометрические функции

Сферическо-гиперболическую аналогию обоих типов (абстрактную и конкретную) можно использовать для упрощённого вычисления матриц элементарных структур в квартовом круге (341) - как моторных, так и рефлективных, если уже известна структура для какой-либо матрицы из круга. Например, аналогично ранее найденным структурам (313), (314) устанавливаются структуры деформационных матриц:

(361)

(362)

Эти структуры как элементарные, подобно структурам (313), (314), выводятся из исходной 2×2-клетки (292) по тем же схемам модальных преобразований (315), (317), (318). И далее из полученых структур деформационных и ротационных сферических матриц-функций по синус-тангенсной аналогии выводятся родственные структуры ротационных и деформационных гиперболических матриц-функций: (363) (364)

(365)

Кроме того, та же гиперболическая ротационная матрица-функция выводится из сферической по аналогии абстрактного типа А именно по схеме (322) вещественный синус в ротационной матрице в (315) преобразуется в мнимый (284) и далее в гиперболический. Отсюда же видно, что обращение ротационных и деформационных матриц-функций сводится к весьма простой операции: или

В более общем случае при ротации в другой универ­сальный базис в указанных тригонометрических матрицах изменяются только координаты вектора направляющих косинусов (пассивно):в пределах того же евклидова подпространства. Матрицы (313), (314) представ­ляют интерес для изучения движений в 2- и n-мерной сферической геометрии. Матрицы (363), (364) представляют интерес для изучения движений в 3- и n-мерной гиперболической геометрии. Матрицы (363), (365) представляют интерес для изучения преобразований в псевдоевклидовом пространстве Минковского, связанных с физическим движением.