Дискретно-непрерывная математика (стр. 64 )

Формулы (236)-)(239) представляют проективные тригонометри­ческие функции в канонической W-форме в ориентированном базисе диагонального косинуса. Их базис определяется как тригоно­метрический. При тех же условиях (234) имеем:

(240)

Это суть ортопроекторы, осуществляющие проецирование на характе­ристические подпространства: i-я тригонометрическая клетка, оси Они же своими базисными столбцами (строками) задают эти подпространства. Если некоторые φі совпадают, то i-я тригонометрическая клетка расширяется; требуется ортогонализация однородных осей для восстановления бинарной структуры.

Возвратимся к условиям (234). Они были приняты ранее для упро­щения процесса разбиения на характеристические базисные подпрос­транства. Но пусть, например,с кратностью v′ на (рис.2); Тогда этому значению косинуса, в свою очередь, насоответствует cos φі = -1 с той же кратностью v' (в силу обратного порядка расположения проекторов). Собственное значение косинуса «-1» теперь относится и к как ранее, и к Для отделения собственного тригонометрического подпространства отнужно ортогонализовать собственные векторы косинуса с μ = -1. При этом устанавливается парная ортогональность Аналогично поступают, если наокажутся значения sin φі = +1 (cos φі = 0) с кратностью(рис.2). Тогда на им соответствуют sin φі = -1 с той же кратностью v". Собственное значение синуса «+1» теперь относится и к как ранее, и к Для отделения собственного тригонометрического под пространства от нужно ортогонализовать собственные векторы синуса с μ=+1. При этом устанавливается парная ортогональность

Кроме того, если вопреки принятому ранее,

Если же r1 + r2 > n, то Сообразно этому изменяют знаки единичных собственных значений на

Используемые базисы суть правые, в том числе исходный ортогональный базис в а также ортогональные

базисы на собственных плоскостях <ui, vi> составляющие вместе триго­нометрический базис (его бинарную часть). В тригонометрическом базисе находят с точностью до знака контрадиагональные значения синуса, согласно форме (236). При этом знаки при косинусе опреде­ляются строго в соответствии с формой (237). Тогда величина и знак угла φi строго определяют его положение в интервале Направление отсчёта скалярного угла φi на собственной плоскости с правым декартовым базисом, как общепринято, выбрано против часовой стрелки. Заметим, что вышеуказанный интервал изменения собственных значений углов φi относится к угловым отношениям планаров (а не линеоров!). В том же тригонометрическом базисе (то есть базисе диагонального косинуса) определяются канонические формы характеристических ортогональных (176), (177) и аффинных (211), (212) рефлекторов:

13.6. Ротационные тензорные тригонометрические функции от сферических углов моторного типа

В дальнейшем при выводе ряда формул и неравенств, относящихся к тензорной тригонометрии, будет довольно широко использоваться принцип бинарности. Поясним его. Если простые вещественные матрицы Р1 и Р2 антикоммутативны, то тогда и только тогда они пред­ставляются в одном и том же специальном базисе в вещественных монобинарных клеточных формах W1 и W2, антикоммутативных по общим собственным подпространствам размерности 1 и 2 (см. так­же далее). При этом в каких-либо базисах любая аналитическая функция F(P1, P2) выражается в той же форме, что и функция F(W1, W2). В вышеуказанном специальном базисе функция F(P1, P2) представляется прямой суммой аналогичных собственных функций от монарных и бинарных клеток матриц W1 и W2. В свою очередь, скалярные инварианты F(P1, P2) равны произведению собственных инвариантов по клеткам. Заметим, что для аналитических функций от нескольких простых, попарно коммутативных матриц-аргументов Pt в теории матриц, в том числе и в изучаемой тензорной тригонометрии, используется аналогичный принцип монарности. Принцип бинарности исходит из коммутативности именно квадратов простых матриц. Оба данных принципа позволяют непосредственым образом переносить аналитические операции и их результаты с простейшей клеточной формы на исходные матрицы или на их аналитические функции. Пусть

Составим некоторую аналитическую функцию от них с учётом (176), (177):

где rang A1 = rang A2, то есть А1 и А2 - эквиранговые линеоры.

Её W-форма в ортонормированном базисе {Rw} исходя из бинарных произведений по 2×2-клеткам есть ортогональная ротационная матрица-функция:

При этом подпространствув указанном произведении всегда со­ответствует диагонально-единичный блок. Полученная 2×2-матрица осуществляет ротацию на собственной плоскости на угол 2φi против часовой стрелки. В целом матрица-функция осуществляет сферичес­кую ротацию на тензорный угол 2φ12:

(243)

(244)

где приставка «Rot» обозначает ротационную матрицу-функцию от моторного тензорного сферического угла Ф. В отличие от угла проек­тивного типав его обозначении знак тильды сверху отсутствует. Нетрудно проверить, что

Тригонометрические функции от Ф относятся также к моторному типу. Тензорная ротация осуществляется в тригонометрическом подпространстве размерности 2τ r, где (рис.2) относи-

тельно его ортогонального дополнения размерности то

есть обобщённой оси ротации. Ортогональная матрица R является ротационной, если det R = +1, и является рефлективной, если R = R'. Оба эти качества могут совмещаться, а могут и нет. В свою оче­редь, ротационная матрица Rot Ф12 теоретически вычисляется как тригонометрический квадратный корень из (243):

(245)

Формула (243) наглядно интерпретируется так. Ортогональная реф­лексия от <im А1> и затем от <im A2> тождественна ротации на удвоенный угол между <im A1> и <im A2>. Это очевидно для пары векторов или пары прямых. В частности, для пары неориентированных векторов или планаров ранга 1 имеем ротационную матрицу (τ = 1):

(246)

где

Для ориентированных векторов или линеоров принятый ранее для собственного угла φi допустимый интервалзанижен

вдвое. Поэтому для φi в монобинарной клеточной форме матрицы Rot Ф применяют интервал

В формулах (243), (244) фигурируют ортогональные рефлек­торы, для которых зеркала есть r-подпространства <im A1> и <im A2>, согласно (176), (177). Помимо них в евклидовой тензорной тригонометрии при r1 = r2 = r особое значение имеет симметричный рефлектор, для которого зеркало есть срединное подпространство тензорного угла. В тригонометрическом базисе это подпространство задаётся вектор-осями, то есть собственными векторами проективного косинуса с положительными собственными значениями при условии 2r < n (рис.2). В случае же 2r > n срединное подпространство расширяется ещё на Новая тензорная характеристика именуется как срединный рефлектор. Согласно (242), проективный косинус представляется в виде алгебраической суммы двух ортогональных слагаемых - с положительными и с отрицательными собственными значениями: