Дискретно-непрерывная математика (стр. 70 )

С использованием формулы взаимосвязи углов (336) вычисляется тензорный сферический угол αn в соотношении (288):

Согласно синус-тангенсной аналогии, срединный рефлектор тензорного угла выражается в 4-х тождественных вариантах:

(345)

Умножая матрицы в квартовом круге (341) справа на срединный рефлектор, переходим к квартовому кругу для рефлекторов. Повторив эту операцию, возвращаемся к исходному моторному варианту. Также нетрудно получить формулы-аналоги (336) для взаимосвязи между проективными углами. Изначально проективные гиперболические углы и функции можно определить по формулам проективной евклидовой тригонометрии, но с использованием синус-тангенсной аналогии. Применяя её же к модальным преобразованиям (303), (304), получаем соотношения, родственные (252), (302):

(346)

(347)

На множестве ротационных модальных матриц <ТВ>, выполняющих операции типа (346), (347), матрица Roth ГB, получаемая однозначно из (343), имеет тригонометрическое подпространство минимальной размерности. Теперь стало возможным также вычислить ротационный вариант модальной матрицы для приведения собственных аффинных проекторов к диагональной форме, то есть развивая дальше (311), (312):

(348)

Точно также, как в тензорной евклидовой тригонометрии - см. формулы (249), (251), - здесь соотношения (346), (347) имеют место для общих ротационных матриц из множества

с учётом транспонирования. Причём ΘB - сферический угол ортогональ­ной ротации по отношению к ГB, или ортосферический угол. Для этих тензорных углов и только для них выполняются соотношения:

Соотношения (349) лежат в основе как ротационной псевдоевклидовой тригонометрии с вышеуказанным срединным рефлектором в качестве вводимого независимо рефлектор-тензора, так и внешней гиперболической геометрии. Последняя по существу есть общая геометрия постоянной отрицательной кривизны (с гиперболической тригонометрией в ней). Эта геометрия реализуется на специальных гиперболоидах, вложенных в псевдоевклидово пространство, задава­емое рефлектор-тензором и псевдоевклидовой метрикой.

13.15. Фундаментальный рефлектор-тензор в

квазиевклидовой и псевдоевклидовой интерпретации

Применению гиперболических и сферических матриц в тензорной тригонометрии и в теории собственных проекторов нужно дать надлежащее обоснование, имея ввиду используемые метрические пространства и допустимые в них преобразования базисов. Выберем в исходном арифметическом (аффинном) пространстве координатный базис с единичной матрицей вектор-столбцов Далее вводим

в этом пространстве совершенно независимым образом рефлектор-тензор который придаёт ему, в частности, определённую ориентацию. Во-первых, в этом пространстве как исходно аффинном допускается операция параллельного переноса, в том числе базиса. Во-вторых, определим в ротационные преобразования 3-х типов:

-основные сферические ротации,

-гиперболические ротации,

— ортого­нальные сферические ротации (по отношению к предыдущим двум).

Квазиевклидово пространство (ориентированное) определяется евклидовой квадратичной метрикой и рефлектор-тензором задающим допустимые преобразования, в том числе базиса, вида:

(350)

Это суть ротационно связанные квазидекартовы базисы. Именно в таком пространстве воплощается квазиевклидова тригонометрия в правых квазидекартовых базисах.

Псевдоевклидово пространство (ориентированное) опреде-

ляется псевдоевклидовой квадратичной метрикой и рефлектор-тензором задающим допустимые преобразования, в том чисте базиса, вида

(351)

Это суть ротационно связанные псевдодекартовы базисы. Именно в таком пространстве воплощается псевдоевклидова тригонометрия в правых псевдодекартовых базисах

Кроме того, определим универсальные базисы (правые)

(352)

В частности, сюда входит исходный единичный базис то есть простейший по форме. Универсальные базисы принадлежат пересечению множеств ротационно связанных базисов обоих выше­указанных типов. Благодаря этому в них реализуется совместно квазиевклидова и псевдоевклидова тригонометрия, а, следовательно, и сферическо-гиперболическая аналогия конкретного типа. (Например, в теории относительности в универсальных базисах описывается движение с точки зрения относительно неподвижного наблюдателя )

Пусть В - нуль-простая матрица какого-то линейного преобра­зования в Введем рефлектор-тензор равный срединному рефлектору ее характеристического тензорного угла, с переходом при этом в ориентированное псевдоевктидово пространство

(353)

В любом универсальном базисе в том числе в {I}, проекторыи сферически ортогональны друг к другу, то есть

а проекторыгиперболически ортогональны друг к другу с учетом

(347), то есть

Соответственно В - есть гиперболически ортогональная квази­обратная матрица. Подпространства <im B> и <ker B> образуют гиперболически ортогональную прямую сумму тогда и только тогда, когда В нуль-простая. Для проекторов собственные векторы или подпространства, относящиеся к различным собственным значе­ниям («+1» и «0»), гиперболически ортогональны. Эквиранговые

проекторы и связанные с ними планары преобразуются

друг в друга гиперболической ротацией (347) как гиперболически ортогональные тензоры и тензорные объекты валентности 2. Проектор

проецирует гиперболически ортогонально на <im B>, а проектор проецирует гиперболически ортогонально на <ker B>. Сферически и гиперболически ортогональные собственные проекторы принадлежат своим подмножествам множества идемпотентных матриц. Здесь

- симметричные, а <> - несимметричные идемпотентные матрицы. Соответствующую гиперболическую трансформацию претерпевают проективные формулы (186) - (197). В символическом октаэдре (рис. 1), проведя диагональ RS, с учётом (347) имеем два псевдоравнобедрен­ных тензорных треугольника RZS и RIS с равными гиперболическими углами

Для гиперболически ортогональной ротационной матрицы имеют место аналоги формул Муавра и Эйлера:

Её свойства, безотносительно к углу ротации, те же, что у деформаци­онной сферической матрицы. Она симметрична и положительно определена: и,

возможно, μk = + 1. Любое положительное число и мультипликативно обратное емy взаимно-однозначно представляются через скалярный гиперболический угол, в том числе в форме 2×2-матрицы.

Естественное обобщение бинарной гиперболической ротационной матрицы есть положительно определённая симметричная матрица с единичным детерминантом. В тригонометрическом базисе она разбивается на единичный блок и специальные симметричные клетки с единичными детерминантами В базисе диагональной формы она представляется как где по клеткам Согласно

полярному разложению, приведённое модальное преобразование V без рефлексий двухвалентных тензоров представляется произведением сферической и обобщённой гиперболической ротационных мат­риц при одной и той же ориентации базиса, то есть det V>0. В псевдоевклидовой геометрии, как и в евклидовой, применяются матрицы только бинарной тригонометрической структуры.