Дискретно-непрерывная математика (стр. 12 )

Сейчас нам предстоит установить основное предложение всей этой теории, согласно которому пространство R расщепляется на циклические подпростран­ства.

Пустьесть минимальный многочлен пространства R. Тогда в пространстве существует вектор е, для которого этот многочлен является минимальным (теорема 2, п.11.10). Пусть I1 обозна­чает циклическое подпространство с базисом

(86)

Если п = т, то R = I1. Пусть п > т и пусть многочлен

будет минимальным многочленом R по mod I1. Согласно замечанию, сделан­ному в конце п.11.10, ψ2(λ) будет делителем ψ1(λ), т. е. существует такой многочлен , что

(87)

Далее, в R существует вектор g*, относительный минимальный многочлен которого есть ψ2(λ). Тогда

(88)

т. е. существует многочлен χ(λ) степени такой, что

(89)

Применим к обеим частям этого равенства оператор Тогда слева в силу (87) получим т. е. нуль, поскольку ψ1(λ) есть абсолютный минимальный многочлен пространства; следовательно,

(90)

Это равенство показывает, что произведениеявляется аннулирующим многочленом для вектора е и потому делится без остатка на минималь­ный многочлен делится на

(91)

где — некоторый многочлен. Используя это разложение многочлена χ(λ), мы равенство (89) сможем записать так:

ψ2(А)g = 0, (92)

где вектор g определяется равенством

g= g*- (A)e. (93)

Последнее равенство показывает, что

g = g* (mod I1). (94)

Поэтому ψ2(λ), будучи относительным минимальным многочленом для вектора g*, будет таковым и для вектора g. Но тогда из равенства (92) следует, что ψ2(λ) является одновременно и абсолютным минимальным многочленом для вектора g.

Из того, что ψ2(λ) есть абсолютный минимальный многочлен вектора g, следует, что подпространство I2 с базисом

g, Ag, ..., Aр-1g (95)

будет циклическим.

Из того, что ψ2(λ) есть относительный минимальный многочлен для g по mod I1, вытекает, что векторы (95) линейно независимы по mod I, т. е. никакая линейная комбинация векторов (95) с не равными одновременно нулю коэффи­циентами не может равняться линейной комбинации векторов (86). Так как эти последние сами линейно независимы, то последнее наше утверждение означает линейную независимость т + р векторов

е, Ае, ..., Ат-1е; g,Ag,..., Aр-1g. (96)

Векторы (96) образуют базис инвариантного подпространства I1 + I2 с, числом измерений т + р.

Если п = т + р, то R = I + I2. Если же п > т + р, то мы рассмотрим R по mod (I1+I2) и продолжим далее наш процесс выделения циклических инвариантных подпространств. Так как все пространство R конечномерно, имеет п измерений, то этот процесс должен приостановиться на некотором под­пространстве It, где t ≤п.

Мы приходим к следующей теореме:

Теорема 3 (2-я теорема о расщеплении простран­ства на инвариантные подпространства). Пространство всегда можно расщепить на циклические относительно данного линейного оператора А подпространства I1, I2,.. .,It с минимальными многочленами ψ1(λ), ψ2(λ), ..., ψt (λ),

R = I1+ I2+.. .+It (97)

так, чтобы ψ1(λ) совпадало с минимальным многочленом ψ(λ) всего простран­ства и каждое ψі(λ) было бы делителем ψі-1(λ) (і = 2, 3, ..., t).

Отметим теперь некоторые свойства циклических пространств. Пусть R — циклическое и-мерное пространство, ψ(λ)= λт + ... — минимальный много­член этого пространства. Тогда из определения циклического пространства следует, что т = п. Обратно, пусть нам дано произвольное пространство R и известно, что т = п. Применяя доказанную теорему о расщеплении, мы представим R в виде (97). Но число измерений циклического подпространства I1 равно т, так как его минимальный многочлен совпадает с минимальным мно­гочленом всего пространства. Так как по условию т = п, то R = I1, т. е. R есть циклическое пространство.

Таким образом, установлен следующий критерий цикличности пространства:

Теорема 4. Пространство циклично тогда и только тогда, когда его число измерений совпадает со степенью его минимального многочлена.

Пусть теперь мы имеем расщепление циклического пространства R на два инвариантных подпространства I1 и I2:

(98)

Обозначим числа измерений пространств R, I1 и I2 соответственно через п, п1 и п2, минимальные многочлены этих пространств — через и степени этих минимальных многочленов — через т, т1 и т2. Тогда

(99)

Сложим почленно эти неравенства:

(100)

Так как ψ(λ) есть наименьшее общее кратное многочленов то

(101)

Кроме того, из (98) следует:

(102)

(100), (101) и (102) дают нам цепочку соотношений

(103)

Но в силу цикличности пространства R крайние числа в этой цепочке, числа т и п, равны между собой. Следовательно, имеет место равенство и в про­межуточных звеньях этой цепочки, т. е.

Из того, что т = т1 + т2, заключаем, что взаимно просты.

Из, принимая во внимание (99), находим:

(104)

Эти же равенства означают цикличность подпространств I1 и I2.

Таким образом, мы приходим к следующему предложению:

Теорема 5. Циклическое пространство расщепляется только на такие инвариантные подпространства, которые 1° сами циклические и 2° имеют взаимно простые минимальные многочлены.

Те же рассуждения (проведенные в обратном порядке) показывают, что теорема 5 допускает обращение.

Теорема 6. Если пространство расщепляется на инвариантные под­пространства, которые 1° являются циклическими и 2° имеют взаимно простые минимальные многочлены, то само пространство является циклическим.