Дискретно-непрерывная математика (стр. 57 )

Матрица Вm обладает свойствами нормальной матрицы на собственном подпространстве, соответствующем нулевому собствен­ному значению. Поэтому она определяется как нуль-нормальная, а её проекторы — как ортогональные. В частности, это суть сингулярные нормальные, в том числе симметричные и кососимметричные матрицы, а также несингулярные матрицы. Имеют место соотношения:

(91)-(92)

Проекторпроецирует в ортогонально на ядро матрицы

Вm, а проекторпроецирует ортогонально на её образ:

Очевидно, что все собственные матрицы Bi нуль-простые и вещественные, или все они имеют вещественные аффинные проекторы

тогда и только тогда, когда В простая вещественная матрица с вещественной диагональной формой (собственными значениями). В свою очередь, для нормальной вещественной матрицы В = М существует ортогональная вещественная модальная матрица R её приведения к вещественной диагональной форме тогда и только тогда, когда она симметрична: М = S. Образ и ядро всех собственных матриц S, ортогонально дополняют друг друга в

Следовательно, некоторая вещественная матрица имеет все нуль-нормальные вещественные собственные матрицы тогда и только тогда, когда она симметрична

В частном же случае собственные матрицы Bi и Bi' ранга (n — 1) имеют один и тот же i-й собственный вектор тогда и только тогда, когда BiV=(BiV)'. При этом ортонормирование столбцов по Граму —

Шмидту отдельно в 2-х блоках модальной матрицыв (86)

даёт ортогональную модальную матрицy приведения к канонической нуль-клеточной форме:

(93)

Если исходный базис был декартов, например {1}, то новый орто-нормированный базис будет выражаться в нём вектор-столбцами модальной матрицы. Ориентация базиса сохраняется

или выбирается путём умножения Rсol справа на знакопеременную единичную матрицу. В частности, к нуль-нормальным матрицам при­надлежат сингулярные М и S.

Аналогично (78), для симметричной матрицы S можно полностью сформировать ортогональную модальную матрицу Rcol её приведения к диагональной форме. Если собственные значения матрицы S различны, то находимые через <ker Si> все n её единичных собственных векторов сразу же дают искомую Rcol. Если же некоторые из них вырождены (при si > 1), то прибегают к ортонормированию по Ераму - Шмидту. Приведём встречаемый в модуле 13 характерный пример нуль-нормальных матриц, образу­емых из прямоугольной n×m-матрицы А:

(94)

(95)

Укажем некоторые другие свойства изучаемых нуль-нормальных матриц:

(96)

Нуль-нормальные матрицы Вm и Вm' удовлетворяют двум условиям формулы (87). Поэтому для них также справедливы формулы расщепления:

(97)

В частности, последняя из них обобщает классическую формулу для детерминанта гомомультипликации матрицы:

12.12. Сферически ортогональные проекторы и квазиобратная матрица

Пусть А - n×m-матриш, r = rang А. Тогда АА' и Согласно (91) и (92),

(98)

(99)

где проецирует ортогонально на

проецирует ортогонально на

А+- квазиобратная m×n-матрица Мура - Пенроуза, для которой rang A = rang A'. Согласно (99), она удовлетворяет условию:

(100)

Отсюда следует формула Диселла

(101)

полученная им ранее через алгоритм Сурьё - Фаддеева. Если мат­ричный коэффициент развернуть в многочлен (27), то непосредственно видна тождественность обеих частей этой формулы. В частности, Квазиобратная матрица Мура - Пенроуза играет роль обратной матрицы на <im A> и нулевой на <ker A'> при умножении слева:

(102)

При умножения справа она играет роль обратной матрицы на <im A'> и нулевой на <ker А>:

(103)

В частности, В+ коммутирует с В только на пересечении подпрос­транств:Отсюда следует, что

(104)

В любом случае, согласно (102) и (103), В+ представляется прямой ортогональной суммой обратной и нулевой матриц. Ортогональная квазиобратная матрица имеет исключительное геометрическое зна­чение в евклидовом пространстве с ортонормированным базисом. Среди всех квазиобратных матриц, задаваемых уравнением Пенроуза А∙Х∙А = А, она, как известно, имеет минимальную норму Фробениуса, то есть матричную норму 1-го порядка. При этом, что тождественно, она является его нормальным решением как слева, так и справа. Указанное обстоятельство обусловлено требованием (100). Кроме того, она сама даёт те же нормальные решения с минимумом нормы Фробениуса для правого, левого и смешанного линейного матричного уравнения:

(105)

(106)

(107)

При этом невязка вышеуказанных линейных уравнений также имеет минимальную норму:

(108) (109)

(110)

Кроме того, А+ является единственным элементом пересечения множеств правых и левых квазиобратных матриц, задаваемых уравнениями типа (99). В общем виде имеем:

(111)

- они производят ортопроекторы, указанные в (108);

(112)

— они производят ортопроекторы, указанные в (109);

(113)

Согласно (108) - (110), имеем:

(114)

В частности, исследуем дополнительно классическое уравнение:

(115)

(116)

(117)

Геометрически минимодульная невязка уравнения (115) есть анти­проекция (116). Поэтому для её евклидовой нормы справедливо:

(118)

(119)

где φ - скалярный угол между вектором а и подпространством <im A>.

В заключение исходя из (101) дадим формулу для элементов (pq)

m×n-матрицы в (115) в эрмитизированной форме:

где - новые индексы элемента аqp в минорах А.

В итоге формула (115) даёт обобщение формул Крамера. В частности, при r = n = m она даёт матричное решение невырожденного линейного уравнения, так как

Микромодуль 33.

Основные скалярные инварианты сингулярных матриц

12.13. Минорант матрицы и его применение

Если А1 и А2 суть n×m-матрицы, то Напомним, что скалярные коэффициенты представляют собой сумму детерминантов диагональных миноров одного и того же порядка t. Представим каждый диагональный минор матрицы A1A2' через муль­типликацию t×m-субматриц строк: