Дискретно-непрерывная математика (стр. 27 )

т. е. разложение (257) для оператора А.

Установим сначала разложение (256) для частного случая, когда А — не­особенный оператор ( | А | ≠ 0). Полагаем:

и проверяем унитарность оператора U:

Заметим, что в рассматриваемом случае в разложении (256) не только пер­вый множитель Н, но и второй U однозначно определяются заданием неосо­бенного оператора А.

Рассмотрим теперь общий случай, когда А может быть и особенным опе­ратором. Заметим прежде всего, что полная ортонормированная система соб­ственных векторов оператора А*А всегда преобразуется оператором А снова в ортогональную же систему векторов. Действительно, пусть

Тогда

При этом

Поэтому существует такая ортонормированная система векторов что

(258)

Определим линейные операторы Н и U равенствами

(259)

Из (258) и (259) находим:

При этом в силу (259) Н — неотрицательный эрмитов оператор, поскольку он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов и неотрицательные характеристические числа a U — унитарный оператор, ибо он переводит ортонормированную систему векторов х1, х2,..., хп снова в ортонормированную

Таким образом, можно считать доказанным, что для произвольного линей­ного оператора А имеют место разложения (256) и (257), причем эрмитовы мно­жители Н и Н1 всегда однозначно определяются заданием оператора А (они суть соответственно левый и правый модули оператора А), а унитарные множи­тели U и U1 определяются однозначно лишь в случае неособенного А. Из (256) легко находим:

(260)

Если А — нормальный операторто из (260) вытекает:

(261)

Поскольку, то из (261) следует перестановочность U с Н. Обратно, если Н и U перестановочны между собой, то из (260) выте­кает, что А — нормальный оператор. Теорема доказана.

Наряду с операторными равен­ствами (256) и (257) имеют место соответствующие матричные равенства.

Характеристические числа оператора(которые в силу (260) являются также характеристическими числами оператора называют иногда сингулярными числами оператора А.

Если характеристические числаи сингулярные числа линейного оператора А занумеровать так, чтобы

то имеют место неравенства Вейля

Разложения (256) и (257) являются аналогом представления комплексного числа z в виде где

Пусть теперь х1, х2, ..., хп — полная ортонормированная система соб­ственных векторов произвольного унитарного оператора U. Тогда

(262)

где — вещественные числа. Определим эрмитов оператор F равенствами

(263)

Тогда

(264)

( где r(λ) — интерполяционный многочлен Лагранжа для функции в точках )

Из (262) и (264) следует

(265)

Таким образом, унитарный оператор U всегда представим в виде (265), где F — эрмитов оператор. Обратно, если F — эрмитов оператор, то — унитарный оператор.

Разложения (256) и (257) вместе с (265) дают следующие равенства:

(266)

(267)

где Н, F, H1 F1 — эрмитовы операторы и притом Н и Н1 неотрица­тельны.

Разложения (266) и (267) являются аналогом представления комплексного числа z в виде z = reiφ, где r≥0 и φ — вещественные числа.

Замечание. В равенстве (265) оператор F не определяется однозначно заданием оператора U. Действительно, оператор F определяется при помощи чисела к каждому из этих чисел можно прибавить произвольную кратность 2π, не изменяя исходных равенств (262). Выбирая надлежа­щим образом эти слагаемые, кратные 2π, мы можем достичь того, чтобы из всегда следовало: Тогда можно определить интерполяционный многочлен g (λ) равенствами

(268)

Из (262), (263) и (268) будет следовать:

F=g(U)=g(eiF). (269)

Совершенно аналогично можно нормировать выбор F1 так, чтобы

F1=h(U1)=h(eiF), (270)

где h (λ) — некоторый многочлен.

В силу (269) и (270) перестановочность Н и U (Н1 и U1) влечет перестановоч­ность Н и F (соответственно Н1 и F1) и наоборот. Поэтому согласно теореме 8 оператор А будет нормальным тогда и только тогда, когда в формуле (266) Н и F (или в формуле (268) Н1 и F1 перестановочны между собой, если только харак­теристические числа оператора F (соответственно F1) надлежащим образом нормированы.

В основе формулы (265) лежит тот факт, что функциональная зависимость

(271)

переводит n произвольных чисел на вещественной оси f1, f2,..., fn в некоторые числа μ1, μ2, ..., μn, лежащие на окружности |μ|=1, и наоборот.

Трансцендентную зависимость (271) можно заменить рациональной зависи­мостью

(272)

которая переводит вещественную осьв окружность при этом бесконечно удаленная точка на вещественной оси переходит в точку Из (272) находим:

(273)

Повторяя рассуждения, которые привели нас к формуле (265), мы из (272) и (273) получим две взаимно обратные формулы: