Дискретно-непрерывная математика (стр. 50 )

Введены общие квадратичные нормы для особых линейных геометрических объектов - линеоров, задаваемых n×m-матрицами А, где 1 ≤ m < n (при m = 1 это векторы), а также для тензорных углов между ними или между их образами в n-мерном арифметическом пространстве. Генеральная норма имеет порядок r, равный рангу матрицы. Евклидова норма (или норма Фробениуса) имеет порядок 1. Теоретической базой для этих норм стали, во-первых, иерархическое генеральное неравенство для средних величин и, во-вторых, общие тригонометрические неравенства. Первое из них (иерархическое) даёт полную иерархию средних геометрических, алгебраических и степенных, в том числе в их реверсивных формах. Последующие из них (тригонометрические) обобщают неравенства Коши (косинусное) и Адамара (синусное) для общего случая определения скалярного угла между вышеуказанными объектами — линеорами или между их образами - планарами ранга m (при m = 1 между векторами или прямыми). В качестве сопутствующего применения иерархического неравенства средних величин изложен глобальный предельный метод поэтапного вычисления всех корней векового уравнения спектрально положительной матрицы, а также дан более строгий необходимый признак положительности корней алгебраического уравнения, нежели классический признак Декарта.

Главным же результатом работы является создание в полномасштабных формах тензорной тригонометрии — в трёх естественным образом дополняющих друг друга формах: проективной, рефлективной и моторной. Определены и изучены два типа моторных тригонометрических преобразований: ротационные (синусно-косинусные) и деформационные (тангенсно-секансные). В свою очередь, ротационные преобразования через их полярное представление подразделены на сферические, гиперболические и ортосферические. Между всеми сферическими и гиперболическими понятиями установлены дуальные отношения на основе широко используемой в работе сферическо-гиперболической аналогии в абстрактной и конкретной формах в исходном универсальном базисе.

Дано сходное определение квазиевклидовых и псевдоевклидовых пространств, а также их собственных тензорных тригонометрических преобразований через фундаментальный рефлектор-тензор и квадра­тичную метрику базового n-мерного арифметического пространства — как ротационных, так и орторефлективных.

В парах (сферическое, ортосферическое), (гиперболическое, орто-сферическое) ротационные тригонометрические преобразования образют две некоммутативные группы. Первая из них есть группа квазиевклидовых ротаций. Вторая из них - группа псевдоевклидовых ротаций, или группа Лоренца. Пересечение этих двух групп есть подгруппа ортосферических ротаций. Гиперболические и сферические ротации, вообще говоря, не образуют собственых подгрупп. В свою очередь, аналогичные им два собственных множества орторефлективных преобразований (в квазиевкдидовом и псевдо­евклидовом пространствах с одним и тем же рефлектор-тензором) с общим их пересечением в виде подмножества ортосферических рефлексий не образуют собственных групп.

Тензорная тригонометрия применима в решении разнообразных задач геометрий с квадратичными инвариантами, реализуемых в многомерных арифметических пространствах и во вложенных в них подпространствах постоянной кривизны. В качестве отдельных примеров специфического применения новых методов тензорной тригонометрии в линейной алгебре дано спектральное представление собственных проекторов, тригонометрическая теория простых квадратных корней из единичной матрицы, а также показана тригонометрическая природа коммутативности и антикоммутативности простых матриц.

В качестве весьма важного частного и простейшего случая дано представление тензорных тригонометрических ротаций и деформаций в элементарных формах (то есть с одним собственным углом движения и с реперной осью для его отсчёта). Показано, что при этом открываются новые возможности для изучения движений в неевклидовых геометриях постоянной кривизны и в теории относительности. Эти вопросы освещаются достаточно подробно в отдельном приложении.

Тензорная тригонометрия базируется на монобинарном тригоно­метрическом спектре всех собственных проекторов так называемой нуль-простой n×n-матрицы, у которой её образ и ядро образуют прямую сумму. Полный тригонометрический спектр имеют простые матрицы. Существенную роль в выводе и строгом обосновании тригонометрического спектра для нуль-простой n×n-матрицы играют коэффициенты её характеристических многочленов — скалярного и матричного. Соответственно структура и свойства скалярных и матричных коэффициентов детально изучаются в микромодуле 30. Здесь форму­лируется и доказывается в целом генеральное неравенство для средних величин, включающее цепь частных неравенств Маклорена для средних алгебраических — основы вводимых впоследствии иерархических норм. Показаны также его дополнительные возможности в теории решения алгебраических уравнений. Исходя из найденной структуры матричных характеристических коэффициентов высшего порядка n×n-матрицы идентифицирован её минимальный аннулирующий многочлен. В микромодуле 31 устанавливаются явные формулы для собственных проекторов нуль-простой матрицы через её характеристические коэффициенты высшего порядка. Как весьма важный частный случай, дополнительно вводятся и изучаются нуль-нормальные матрицы, у которых образ и ядро образуют прямую ортогональную сумму. В микромодуле 32 определяются скалярные характеристики матриц, имеющие косинусную и синусную природу и обобщающие известные алгебраические нормы для коси­нуса и синуса угла между векторами в евклидовом арифметическом пространстве. При этом здесь вводятся в рассмотрение в качестве общих линейных геометрических объектов - линеоры А и планары <im А>, задаваемые n×m-матрицами, где 1 ≤ m ≤ n (в частности, при m = 1 это векторы и прямые). В микромодуле 33 рассматриваются альтернатив­ные варианты комплексификации характеристик - адекватный и эрми­тов при переходе от вещественного арифметического пространства к комплексному. Дан ряд конкретных примеров обоих подходов.

Микромодуль 31

Коэффициенты характеристических многочленов

12.1. Совместное определение скалярных и матричных коэффициентов

В теории точных матриц особое место занимает раздел, относящийся к характеристическим многочленам. Он включает алгебраические и геометрические аспекты. Их детальная проработка необходима для последующего построения фундамента тензорной тригонометрии.

Как известно, каждая n×n-матрица имеет своё вековое алгеб­раическое уравнение. Его задаёт скалярный характеристический многочлен от параметра μ, то есть многочлен со скалярными коэф­фициентами. Решения векового уравнения суть собственные зна­чения матрицы μі. С другой стороны, та же n×n-матрица имеет матричный характеристический мнороччен от параметра μ, то есть многочлен с матричными коэффициентами. В данной работе указан­ные характеристические многочлены квадратной матрицы применя­ются, как правило, в знакопостоянной форме от противоположного скалярного параметра ε= — μ. Введём в рассмотрение оба типа характеристических многочленов и их коэффициентов, например, по методу .

Пусть В есть ненулевая n×n-матрица ранга r, I — единичная матрица. Обратимся к следующему преобразованию:

(1)

По существу это есть обычная формула обращения квадратной матрицы в виде дроби, в числителе которой находится

присоединённая к ней матрица, а в знаменателе детерминант; где ε — произвочьный скалярный параметр. При указанной операции обращения получаются сразу оба характеристических многочлена от ε, а именно скалярный порядка n в знаменателе дроби и матричный порядка (n — 1) в её числителе:

В данных многочленах присутствуют скалярные k(B, t) и матричные K1(B, t) характеристические коэффициенты для исходной матрицы В. Причём последние — пока 1-го рода, а матричные коэффициенты 2-го рода К2(ВД) будут определены позднее. Последовательно увеличивающееся число t есть порядок этих скалярных и матричных коэффициентов. Противоположный параметр относится

к собственным значениям матрицы В. Аналогичный скалярный многочлен от параметра μ для матрицы В и её вековое уравнение используются в знакопеременной форме:

Поэтому определённые выше скалярные коэффициенты поряд­ка t представляют собой суммы Виета или суммы детерминантов всевозможных диагональных миноров размера t×t, но без изменения алгебраического знака перед ними. Согласно методу Леверъе, для матрицы В они вычисляются по рекуррентной формуле Варинга, где осуществляется замена сумм Виета на её характеристические скалярные коэффициенты, а сумм Варинга на её характеристические следы одного и того же порядка t:

(2)

Это есть рекуррентная формула Варинга - Леверье прямого типа. Аналогичная формула для тех же коэффициентов, но выраженная в явном виде, представляет больше теоретический интерес

(3)

Формулы (2) и (3) получаются из системы линейных уравнений Ньютона с n известными корнями относительно n неизвестных коэффициентов применением той же схемы замены. Последовательность скалярных коэффициентов или сумм Виета, согласно системе линейных уравнений Ньютона, взаимно-однозначно связана с такой же последовательнос­тью характеристических следов или сумм Варинга вплоть до порядка то есть до минимума ранга указанной степенной матрицы. (При t > r' все скалярные характеристические коэффициенты порядка t обнуляются.) Параметр r' для матрицы В здесь определяется как её 1-й рок. (В дальнейшем будет видно, что обнулению матричных характеристических коэффициентов отвечает некий 2-й рок r".) Решение любых задач, связываемых изначально со скалярными коэффициентами, можно рассматривать также исходя из значений характеристических сумм Варинга, а для матриц - значений характеристических следов.