Дискретно-непрерывная математика (стр. 79 )

В частности, метрический тензор (457) формально действует в ориентированном псевдоевклидовом пространстве, задаваемом срединным рефлектором тензорного угла если R = Rw,

В этом пространстве осуществляется гипербо­лическая интерпретация собственных косогоналъных проекторов. Отметим также, что допустимые тригонометрические преоб­разования в псевдоевклидовом пространстве определяются равнозначно как внутренней, так и внешней мультипликацией:

(459)

(Соответствующий аналог в евклидовом пространстве: R'R = RR' = I.) Положив в (452) V = I, возвращаемся в неориентированное псевдо­евклидово пространство с метрическим рефлектор-тензором Группа ротационных тригонометрических преобразований <Т> в нём задаётся с учетом (458), (459) в виде условий.

(460)

Она известна как группа однородных непрерывных преобразований Лоренца. Установим изоморфную связь между группами аффинных <Taf> и ротационных <Т> тригонометрических преобразований:

(461)

Эта формула показывает, что обе группы подобны. Группа <Т> является трансляцией группы <Taf > из аффинных базисов {Taf} в псевдодекартовы базисы {Т}. Заметим, что евклидовым аналогом <Taf > является группа: в евклидовой версии тригонометрии. (Тригонометрические функции в ней выражаются в аффинной форме.)

Псевдоевклидово пространство в каком-либо псевдодекартовом базисе представляется гиперболически ортогональной суммой, состоя­щей из двух вещественных евклидовых подпространств:

(462)

Здесь и далее знак обозначает гиперболически ортогональное суммирование по отношению к метрическому рефлектор-тензору. Например, по отношению к тензору

Согласно (462), псевдоевклидово

пространство имеет бинарную структуру, задаваемуюи конкретным псевдодекартовым базисом. Одновалентный тензор в этом пространстве расщепляется на две гиперболически ортогональные проекции – на и на Двухвалентные тензоры расщепляются на пару однородных проекций n×n (бипроекция на и q×q (бипроекция на и пару смешанных проекций n×q и q×n. В частности, при q = 1 это суть n×n-тензор, скаляр и пара векторов. Для одновалентных тензоров определяются внутренняя и внешняя мультипликации:

(463), (464)

Как видно, указанные мультипликации транслируются именно в исходное бинарное комплексное евклидово пространство (446). Вследствие этого они применимы в формулах евклидовой геометрии, включая тензорную тригонометрию. В частности, применяя к этим мультипликациям соотношения (120), (121), получаем псевдоаналоги данных формул:

(465)

Для векторных и линеорных объектов в псевдоевклидовом пространстве эти скалярные характеристики являются по сути соот­ветствующими псевдонормами.

При t = r определяются псевдоминорант и дианаль:

(466) Одновалентные тензорные объекты псевдоортогональны, если С12 = Z (с12 =0),- по аналогии с (155) - и хотя бы частично псевдоортогональны. если det Cl2 = 0, - по аналогии с (229). Сферическая ортогональ­ность может иметь место между объектами, находящимися оба в или оба в Гиперболическая ортогональность может иметь место между объектами, находящимися порознь ви в Множество универсальных базисов (352) тождественно множеству согласованных с тензором ортосферических ротационных матриц:

(467)

Согласованные с метрическим тензором общие ротационные матрицы и рефлекторы не изменяют ни внутренние мультипликации (463), ни собственные углы между линейными объектами (векторами, линеорами, планарами). Заметим, что рефлекторы в <Р n+q> могут быть сферически, гиперболически и псевдоевклидово ортогональными.

Линейное (централизованное) псевдоевклидово пространство по отношению к метрике распадается на 3 характеристических подпространства. Первое из них - разделительная плоская (коническая) гиперповерхность, или вещественный изотропный конус второго порядка:

Здесь ρ2 обозначает квадратичный метрический инвариант. Как отсюда видно, на конусе метрика везде нулевая. Вершина изотропного конуса находится в начале координат. Его образующие - центральные прямые лучи. В свою очередь, изотропный конус как гиперповерхность разделяет пространство на две части (n ≥ q). Это внешняя полость конуса, где ρ2 > 0. (Внешняя полость — объединённое множество всех И это внутренняя полость конуса, где ρ2 < 0. (Внутренняя полость - объединённое множество всех

При q = 1, а именно в пространстве Минковского, последняя как геометрический объект распадается ещё на 2 части. Как принято в СТО, это верхняя внутренняя полость, или конус будущего - с положительным направлением оси и это нижняя внутренняя полость, или конус прошлого - с отрицательным направлением оси В данном случае линейное подпространство вырождается в направленную ось (в СТО - стрела времени). Кроме того, внешняя и внутренняя полости содержат одно - и двухсвязный гиперболоиды Минковского — гиперповерхности с инвариантами ρ 2 > 0 и ρ 2 < 0.

В псевдоевклидовом пространстве метрические инварианты первой степени, как и метрика, — либо вещественные (вне конуса), либо мнимые (внутри конуса), либо нулевые (на конусе). Вещественные инварианты определяются также как пространствуподобные; мнимые инварианты определяются также как времениподобные (как принято в СТО). В случае же n < q понятия ''вещественный" и "мнимый" меняются местами, если пространство мнимонизируют. (Изоморфизм между псевдоевклидовым и псевдоантиевклидовым пространствами.)

Собственные углы в ротациях (460), в формах W или аналогичные углы между линейными объектами - вещественные величины, но либо сферические (θk или θt), либо гиперболические (γj). Покажем это исходя из ротационных матриц (460) самой простой структуры, согласованной с знакопостоянными и знакопеременными фрагментами тензора В диагональных формах таких нетривиальных структур нет. Однако в формах W таковыми структурами являются только два чистых ротационных тригонометрических типа, изученные ранее:

(468)

(469)

Из этих прародительских структур путём допустимого модального преобразования Rw' порождаются два чистых типа ротационных матриц Т, выражаемых в каком-либо универсальном базисе как базисе своего действия, а именно:

(470)

(471)

Заметим, что применение модальных матриц, несогласованных с тензором привело бы к изменению последнего, то есть к нарушению условия (460). Следовательно, группа <Т> включает как чистые типы две существующие разновидности вещественных ротационных матриц бинарной тригонометрической структуры: Rot Θ и Roth Г. В самом общем случае эти матрицы в преобразовании Т могут образовывать какую-либо последовательность частных сферических и гиперболических ротаций, выраженных в универсальном базисе:

(472)