Дискретно-непрерывная математика (стр. 107 )

представляется в виде:

(202А)

Траектория сферического (геодезического) движения при-

надлежит сечению гиперсфероида плоскостью ротации матрицы

. Аналитически она производится при

непрерывном преобразованиипутём изменения в мат-

рице rot Ф23 значения скалярного угла от 0 до φ23 при еβ = const. В модели Клейна, или тангенсной модели эта траектория отображается прямолинейным отрезком tg φ23на проективной гиперплоскости На гиперсфероиде нетрудно реализовать сферический треугольник (и далее другие многоугольники) через квазиполярное представление:

Централизованный треугольниктрансформируется в про-

извольный путём активного преобразования координат в том же

Вышеизложенное иллюстрирует хорошо известный факт (теорему) сферической геометрии: любые две неполярные точки сферы можно соединить на ней кратчайшим евклидовым расстоянием по однозначной дуге некоторой большой окружности (геодезической). Это же даёт указанный матричный способ решения такой задачи в исходном центра­лизованном декартовом базисе Причём в базисе угол (π/2 - φ23) есть широта элемента е3 в глобусных координатах. В этом базисе движение реализуется по меридиану, а долгота не меняется. Элементы соединяются кратчайшей дугой с расстоянием а23 = R∙φ23. Как видно из (202А), при движении точечного элемента ортосферический сдвиг θ13 фактически аннигилирует. Но этот сдвиг проявлял бы себя обязательно при двухступенчатом движении неточечного объекта, например, задаваемого линеором.

Отметим, что в двумерной сферической геометрии угол θ есть эксцесс сферического треугольника или более сложной - составной фигуры. Он направлен именно в сторону суммирования отрезков.

* * *

Используя квазиполярное представление (177А), (178А), находим в общем виде закон и формулы для суммирования многоступенчатых движений в сферической геометрии как внешней, так и внутренней в <Q n+1> - аналоги соотношений (153А>—(155А). При этом скалярные формулы имеют место и в эллиптической геометрии Римана. Имеем:

(203 А)

Здесь rot Θ выражается канонической формой типа (497). Далее,

(204А) Здесь же укажем структуру специфической матрицы Т* типа (185 А) для обратного порядка последовательности частных движений:

Таким образом, тензорная тригонометрия содержит достаточно общий и эффективный инструментарий для изучения и описаний в едином ключе движений в псевдоевклидовых и в (квази)евклидовых пространствах. В частности, описанные в гл. 5А - 8А закономерности этих движений являются существенной частью неевклидовых геометрий в малом, реализуемых в подпространствах постоянной кривизны.

Как известно, исторически изначально Ламберт и Тауринус сделали первые шаги в направлении создания неевклидовой геометрии гиперболического типа, выдвинув её аналогию с геометрией сферы. Они же определили таковую как геометрию на сфере мнимого радиуса. Впоследствии благодаря исследованиям Клейна стало ясно, что этот ранее гипотетический геометрический объект есть гиперболоид II Минковского. В данной главе был сделан шаг в обратном направлении. А именно установленные ранее в гл. 7А закономерности движений в гиперболической геометрии на основе сферическо-гиперболической аналогии трансформированы далее в соответствующие закономерности движений в сферической геометрии. С применением общих методов тензорной тригонометрии между движениями в обеих геометриях постоянного радиуса продемонстрирована определённая взаимосвязь.

На наш взгляд, представляет особый интерес предпринять когда-нибудь совместное изложение обеих неевклидовых геометрий посто­янного радиуса с их неискажаемой интерпретацией на собственных гиперповерхностях - гиперсфероиде в <Qn+1> и гиперболоидах в <Рn+1>. В рамках геометрий в малом их объединяют общие методы тензорной тригонометрии, в рамках геометрий в целом - тригонометрические модели, отображаемые на проективной двухсторонней (замкнутой) гиперплоскости и на проективном одностороннем (замкнутом) гиперцилиндре.

Глава 9А. Необходимо ли искривление пространства-времени в поле тяготения?

( Главы 9А и 10А имеют дискуссионный характер)

Специальная теория относительности (СТО) формулирует законы движения материи при абстрактно предполагаемом отсутствии именно поля тяготения, причём как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчёта. Тензорно-тригонометрические возможности для этого были продемонстрированы в гл. 2А - 7А. Исходя из преобразо­ваний Лоренца для координат пространства и времени Пуанкаре в 1905г. выдвинул революционную (но оставшуюся практически незамеченной современниками) идею единого комплексного пространства-времени с псевдоевклидовой метрической формой. Пуанкаре ввёл мнимую координату времени и для неё особый масштабный коэффициент однородности - константу «с». (Существенно то, что реальная скорость света не всегда совпадает с этим коэффициентом, но не превышает его.) Впоследствии Минковский в 1907 — 1908 гг. предложил развёрнутую овеществлённую модель псевдоевклидова пространства-времени. Минковский также ввёл в реля­тивистскую теорию понятия о времени - и пространствуподобных интервалах, изотропном конусе и т. д. Изложенные им идеи быстро получили всеобщее признание, так как почва для этого уже созрела.

Ещё ранее в рамках динамики и теории тяготения Ньютона неизбежно встали вопросы о происхождении силы инерции и силы тяготения материи. Сам Ньютон для объяснения инерции постулировал некое абсолютное пространство наряду с абсолютным временем и таким образом он придал инерции и ускорению абсолютный смысл.

Мах (1883 г.), хотя и подверг известной критике эти взгляды Ньютона, но по существу он конкретизировал абсолютное пространство, связав его со звёздной системой Вселенной. В теории Маха, имеющей качественный и более философский характер, инерция и ускорение определяются по отношению к некоторой выделенной системе отсчёта связанной с неподвижной в ней массой Вселенной в целом (npuнцип Маха). При этом их абсолютный смысл сохраняется. Система отсчёта Маха, в свою очередь, задаёт бесконечное множество галилеевски инерциальных систем отсчёта (псевдодекартовых

базисов). По определению, такие системы совершают равномерное

поступательное и прямолинейное движение по отношению к Например, с довольно высокой точностью они могут быть связаны с центрами масс каких-либо звёздных объектов, в том числе Солнца.

В связи с разработкой общей теории относительности (ОТО) Эйнштейн обратил особое внимание на эмпириокритические высказывания Маха по вопросам механики и философии познания. Эйнштейн впервые чётко и явно сформулировал закон о тождестве инерционной и тяготеющей масс для любого материального объекта. Этот закон использовался в неявном виде уже изначально в классической динамике, теории тяготения и в объединяющей их небесной механике. Как фундаментальный закон Природы он действует и в классических и в релятивистских формах. Независимость гравитационного ускорения от природы вещества экспериметально установил Ньютон и с высокой точностью подтвердил Этвёш в 1909 г. Возникла идея об одной и той же - гравитационной природе сил инерции и тяготения. Ввиду этого Эйнштейн выдвинул принцип эквивалентности, в котором он полностью математически и физически отождествил инерцию и тяготение как дублирующие друг друга тензорные понятия.

С другой стороны, исходя из принципа Маха закон о тождестве масс можно объяснить тем, что для данного материального тела сила тяготения вызывается активным гравитационным воздействием на него со стороны других материальных объектов, а сила инерции вызывается пассивным гравитационным воздействием на него со стороны материи Вселенной в целом. Активное гравитационное воздействие вызывает ньютонову силу притяжения, а пассивное вызывает силу сопротивления ускорению. В собственном базисе, связанном с центром массы тела (материальной точкой), обе силы точь-в-точь прямо пропорциональны его массе как некоторому вещественному "гравитационному заряду". Поэтому в такой трактовке второй закон механики Ньютона становится естественным дополнением к его же закону всемирного тяготения. Для придания второму закону аналогичного всемирного характера, но в <Р3+1>, необходимо с учётом СТО перейти от внутреннего ускорения к его же абсолютному, прямо пропорциональному геометрическому аналогу — гиперболической кривизне мировой линии:

(205А)