Дискретно-непрерывная математика (стр. 88 )

В векторной трактовке стрелы времени составляют полное множенство осей включающее только времениподобные элементы. С другой стороны, включает только пространствуподобные

элементы. В данном случае все они вещественные. Преобразования Галилея сохраняют данное статус-кво, вследствие того что они сводятся к трём возможным простейшим типам:

1) автоморфная сферическая ротация

2) параллельная ротация относительно евклидова подпространства

3) параллельный перенос

В общем случае базис линейно преобразуется следующим образом:

(4А)

Первые 3 столбца матрицы базиса задают постоянное 4-й

столбец задаёт переменную стрелу времени При (универсальный базис). При этом, если Тогда обратная матрица VG-I (с той же структурой) приводит какой-либо бинарный декартово-аффинный базис к простейшей единичной форме, то есть к исходному базису. Кроме того, она осуществляет пассивное модальное преобразование координат линейного элемента из В любом бинарном базисе линейный элемент пространства представляется прямой суммой:

Исходя из вышеизложенного однородные преобразования Галилея в тригонометрической форме представляются как произведение автоморфной сферической и паралельной ротаций:

(5А) где Обратное однородное преобразование Галилея представляется в виде:

(6А)

Формула (5А) является аналогом полярного представления (474), (475). Сам базис преобразуется аналогично (480):

(7А)

С физической точки зрения суббазис движется относительно суббазисасо скоростью v. Матрица (6А) преобразует координаты элемента пространства-времени Лагранжа следующим образом:

(8А)

Если Θ = Z, то имеем чисто параллельные ротации, выраженные в условно тригонометрической форме:

(9А)

Заметим, что параллельная ротация, применяемая здесь для стрелы времени, геометрически промежуточна между сферической и гиперболической ротациями. Такой вид ротации обусловлен тем, что скалярное время является её инвариантом и, в принципе, может отсчитываться только на исходной оси Многоступенчатые

параллельные ротации дают нерелятивистский коммутативный закон сложения тангенсов или скоростей в матричной и векторной формах в евклидовом подпространстве (3А):

(10А)

Множество- кинематическая коммутативная подгруппа

группы Галилея.

Пространство-время Лагранжа однородно в силу равнозначности всех его составляющих точечных элементов. (Выбор какого-либо элемента за начало координат никак не влияет на характер допустимых преобразований.) Если же его рассматривать иерархически более сложно, а именно как четырёхмерное векторное пространство, то тогда, согласно (2А), оно распадается на две составляющие: изотропное неориентированное евклидово подпространствои ориентированное подпространство Последнее ориентировано по собственной стреле времени всегда из прошлого в будущее. В целом оно неизотропно в силу хотя бы того, что временная и пространственные координаты его элементов имеют различные размерности. Отсюда вытекает аффинный характер их взаимоотношений и условность тождества (1 А).

Пространство-время Лагранжа широко применяется в классической нерелятивистской физике. Однако ещё в конце XIX века выяснилось, что излагаемые в нём уравнения электродинамики Максвелла при переходе от одной инерциальной системы Галилея к другой изменяют свою форму. В связи с этим Лоренц (1892г.) предложил специальные преобразования координат пространства и времени, устраняющие этот существенный недостаток. (Ещё ранее в 1877г. их установил Фойгт исходя из упругой теории света.). В 1904г. Лоренц с учётом физического принципа относительности Пуанкаре (для всех физических явлений) показал, что эти преобразования непосредственно следуют из условия форминвариантности волнового уравнения. Последнее, согласно теории Максвелла, объясняет и описывает распространение света.

* * *

Далее обратимся к пространству-времени Минковского. В ходе происшедшей в начале XX века революционной трансформации пространства-времени в его более совершенную - релятивистскую концепцию в СТО с математической точки зрения были введены два принципиально новых постулата.

Постулат №1 устанавливает, что реальное пространство-время изотропно (наряду с его однородностью). Это достигается использованием для временной координаты некоторого постоянного масштабного коэффициента «с», имеющего размерность скорости.

Постулат №2 устанавливает, что реальное пространство-время представляется как ориентированное бинарное комплексное квазиевклидово пространство с индексом q = 1. Его мнимая координата

— стрела времени, направленная из прошлого в будущее. Принятие этих двух постулатов позволило в новой концепции полностью уйти от вышеотмеченных недостатков нерелятивистского пространства-времени. Например, согласно первому постулату, в (8А):

(11А)

Это даёт безразмерную, чисто тригонометрическую форму описания физического движения. В свою очередь, второй постулат сводит описание движения к гиперболической (псевдосферической) тригонометрии. Причём в базисе естественным образом реализуется сферическо-гиперболическая аналогия абстрактного и конкретного типа:

(12А)

Здесь иличто соответствует (323), или

что соответствует (354).

Переход к новой концепции формально осуществляется в два этапа: сначала к пространству , затем к его вещественному изоморфизму <Р3+1> с вводом метрического тензора Таким образом, пространство-время Лагранжа преобразуется в пространство-время Минковского. Преобразования Галилея автоматически заменяются на преобразования Лоренца. Евклидово векторное пространство тангенсов или скоростей преобразуется в гиперболическое векторное пространство - модель Клейна внутри абсолюта.

Эта революционная трансформация концепции пространства-времени, как известно, была последовательно осуществлена более 100-летия назад в классических трудах создателей СТО: Лоренца, Пуанкаре, Эйнштейна и Минковского. Причём в работах Пуанкаре и Минковского был реализован вышеуказанный фундаментальный математический подход к проблеме. (Приоритет в главном безусловно принадлежит Пуанкаре). Но ввиду приложения новой теории к физике принцип относительности трактуется до сих пор почему-то только в физическом смысле. Хотя, как было показано ними, он имеет свой математический эквивалент. Любое пространство-время, прежде всего, есть некая математическая абстракция, используемая в тех или иных координатных формах записи объективных законов движения материи. В координатной трактовке этих законов и проявляется подлинная физическая реальность пространства-времени.

Пространство-время Минковского в целом однородно. Если же его рассматривают иерархически более сложно - с учётом допустимых направлений, а именно как четырёхмерное векторное пространство, то тогда по отношению к псевдоевклидовой метрике оно распадается на три изотропные составляющие: множество элементов вне светового конуса множество элементов внутри светового конуса и множество элементов на конусе. Соответственно первое множество включает пространствуподобные (вещественные) элементы, второе множество включает времениподобные (мнимые) элементы, а конус включает элементы с нулевой метрикой. В силу того что эти составляющие изотропны, линейные преобразования в нём, связанные с ротациями и деформациями, описываются четырёх­мерными тензорными тригонометрическими моделями. Впервые тригонометрические функции в псевдосферической форме в применил Пуанкаре. Впоследствии Минковский аналогично использовал тригонометрические гиперболические функции в <Р1+1>. Скалярная тригонометрия привлекалась ими для моделирования ротационных гиперболических преобразований на псевдоплоскости.