Дискретно-непрерывная математика (стр. 36 )

(369)

где а уравнение не имеет ненулевых решений, т. е. столбцы матрицы линейно независимы.

(Очевидно, что

Эти соотношения могут стать равенствами лишь одновременно. В этом случае блок будет отсутствовать.).

Если строки пучка линейно зависимы, то транспонированный пучок может быть приведен к виду (369), где вместо чисел будут фигурировать числа (так как между строками пучка А+λВ, а следовательно, и пучка нет линейной зависимости с постоянными коэффициентами, то η1 > 0). Но тогда данный пучок

А+λВ окажется преобразованным к квазидиагональному виду

(370)

где у пучка как столбцы, так и строки линейно независимы, т. е. — регулярный пучок. Если в данном пучке r = п, т. е. столбцы пучка линейно независимы, то в (370) будут отсутствовать первые р диагональных блоков вида Lε (р = 0). Точно так же, если r= т. т. е. в А + λВ стpоки линейно независимы, то в (26) будут отсутствовать диагональные блоки вида

Рассмотрим теперь общий случай, когда строки и столбцы данного пучка могут быть связаны линейными зависимостями с постоянными коэффициен­тами. Обозначим максимальное число постоянных независимых решений урав­нений

соответственно через g и h. Вместо первого из этих уравнений, подобно тому как мы это делали при доказательстве теоремы 4, рассмотрим соответствую­щее векторное уравнение — операторы, отображающие Rn в Rm). Линейно независимые постоянные решения этого уравнения обозна­чим через и примем за первые базисные векторы в Rn. Тогда в соответствующей матрице первые g столбцов будут состоять из нулей

(371)

Совершенно так же в пучке первые h строк можно сделать нулевыми.

Тогда данный пучок примет вид

(372)

где строки и столбцы пучкауже не связаны линейными зависимостями с постоянными коэффициентами. К пучку применимо представление типа (370). Таким образом, в самом общем случае пучок А + λВ всегда может быть приведен к каноническому квазидиагональному виду

(373)

Выбор индексов при ε и η связан с тем, что нам удобно здесь считать

Заменяя фигурирующий в (373) регулярный пучок А0+λВ0 его канониче­ской формой (349), получим окончательно следующую квази­диагональную матрицу:

(374) гдематрица J имеет жорданову или естественную нормальную форму, а

Матрица (374) представляет собой каноническую форму пучка A+λВ в самом общем случае.

Для того чтобы по данному пучку непосредственно определить его кано­ническую форму (374), не осуществляя последовательно процесс приведения, мы, следуя Кронекеру, в следующем параграфе введем понятие о минимальных индексах пучка.

11.35. Минимальные индексы пучка. Критерий строгой эквивалентности пучков

Пусть дан произвольный сингулярный пучок прямоугольных матриц A+λВ. Тогда k многочленных столбцов являющихся решениями уравнения

(375)

будут линейно зависимыми, если ранг многочленной матрицы, составленной из этих столбцов, меньше k. В этом случае существует k многочленов не равных одновременно тождественно нулю, таких, чго

Если же ранг матрицы X равен k, то подобной зависимости не существует, и решения линейно независимы.

Среди всех решений уравнения (375) возьмем ненулевое решение х1(λ) наи­меньшей степени ε1. Среди всех решений того же уравнения, линейно независи­мых от х1(λ), выберем решение х2(λ) наименьшей степени ε2. Очевидно, что Этот процесс продолжим, выбирая среди решений, линейно независи­мых отрешение х3 (λ) минимальной степени ε3 и т. д. Так как число линейно независимых решений уравнения (375) всегда ≤n, то этот про­цесс должен закончиться. Мы получим фундаментальный ряд решений урав­нения (375)

(376)

со степенями

(377)

В общем случае фундаментальный ряд решений не определяется одно­значно (с точностью до скалярных множителей) заданием пучка А + λВ.

Однако два различных фундаментальных ряда решений имеют всегда один и тот же ряд степеней Действительно, тассмотрим наряду с (376) второй фундаментальный ряд решений со степенями Пусть среди степеней (377)

и аналогично в ряду

Очевидно, что Любой столбецесть линейная комбинация столоцов так как в противном случае в ряду (376) можно было бы решение хп+1(λ) заменить решением с меньшей степенью. Очевидно, что и наоборот, любой столбец является линейной комбинацией столбцов Поэтому Теперь аналогичными рассуждениями убежда

емся в том, чтои т. д.

Каждое решение хk(λ) фундаментального ряда (376) дает линейную зави­симость степени εk между столбцами матрицы По­этому числа называются минимальными индексами для столбцов пучка А + λВ.

Аналогично вводятся минимальные индексыдля строк пучка А+λВ. При этом уравнениезаменяется уравнением (А' + λВ')у = 0 и числа определяются как минимальные индексы для столбцов транспонированного пучка