Дискретно-непрерывная математика (стр. 91 )

— другой универсальный базис, то есть с тем же наблюдателем N1;

- гиперболически связанный базис с наблюдателем N1;

- общий псевдодекартов базис с наблюдателем N1.

В первом варианте суббазис неподвижен относительно N1 и сферически сдвинут относительно суббазиса на угол Θ1i. Во

втором вариантедвижется со скоростьюотносительно

N1. В третьем варианте оба эти движения реализуются формально последовательно. В двух последних вариантах, в принципе, возмож­но перейти к новому собственному универсальному базису, если выполнить модальное преобразование В этом новом

единичном базисе относительно неподвижен наблюдатель N1. Но тогда и все матрицы других базисов нужно выразить именно в нём.

Специальный физико-математический принцип относительности здесь проявляется в том, что общие формулы преобразований координат в инерциальных системах ковариантны. Применяя формулы многоступенчатых преобразований (485) - (488), получаем:

Отсюда видно, что преобразование выражается ковариантно

наблюдателям Ni и Nj в базисах В частности,

В СТО преобразования Лоренца в активной форме трансфор­мируют исходный псевдодекартов базис. В силу однородности и изотропности пространства-времени Минковского они имеют чисто тригонометрическую природу. В скалярной тригонометрии, в зависимости от смысла решаемой задачи, вычисляют проективные характеристики двух принципиально различных видов - либо синусно-косинусные, либо тангенсно-секансные. Аналогично, в тензорной три­гонометрии применяются либо ротационные, либо деформационные тригонометрические матрицы. Причём в исходномони выражены в канонических формах (363), (365). В сокращённой векторной форме записи эти матрицы представляются в виде:

(31 А)

Отметим, что термин группа преобразований Лоренца ввёл в научную терминологию (математическую и физическую) именно Пуанкаре в своих изначальных публикациях по теории относительности. Преобразования Лоренца составляют существенную часть выдвинутого им ранее физического принципа относительности, как дальнейшего развития принципа относительности Галилея.

В следующих двух главах рассматривается тригонометрическая трактовка релятивистских эффектов во внутренней и во внешней полостях изотропного конуса.

Глава ЗА. Эйнштейново замедление времени как следствие ротационного гиперболического преобразования

Понятие '"изотропный световой конус" геометрически связано с мировой линией, так как его мгновенный центр есть точка мировой линии. В ней он всегда отделяет прошлое от будущего. Мировые точки укладываются на одну и ту же мировую линию тогда и только тогда, когда все интервалы между ними мнимые, или времениподобные. Во внутренней полости конкретного изотропного конуса описываются мировые линии материальных точек, совершающих равномерное прямолинейное физическое движение, после их прохождения через общее начало координат О (рис. 1А).

Рис. 1А. Скалярные тригонометрические интерпретации основных релятивистских эффектов внутри и вне изотропного конуса в псевдо­плоскости гиперболической ротации:

(1) - эйнштейново замедление времени в движущемся объекте

(2) - лоренцево сокращение протяжённости движущегося объекта

Эти линии образуют семейство центральных прямых внутри конуса. В качестве таковой материальной точки для протяжённого объекта выбирают его центр инерции, тож­дественный центру массы. Материальная точка М находится в <Р3+1> в состоянии относительного физического покоя в некоторой системе отсчётаи в состоянии относительного физического движения в (рис.1 А). Мировая линия точки М тождественна стреле времени с точностью до параллельного переноса. Пусть оба вышеуказанных базиса связаны гиперболической ротацией:

С точки зрения наблюдателя N1 материальная точка М физически движется в со скоростью В окрестности данной

точки может протекать какой-либо процесс. По хронометру наблюда­теля N2 этот процесс длится некоторый интервал времени определяемый отрезком М'М" с учётом масштаба по стреле времени Это, согласно СТО, есть собственное время данного процесса так как оно измеряется относительно неподвижным хронометром. Собственное время в движущемся объекте — абсолютная характеристика, или псевдоевклидов метрический инвариант внутри изотропного конуса. В системе оно же тождественно координатному времени Но в системе координатное время того же процесса, измеряемое наблюдателем N1, определяется проекцией отрезка М'М" на стрелу временис учётом её масштаба и составляет величину . Координатное время в движущемся объекте есть отно­сительная характеристика. Например, в системе оно вычисляется через ротационное модальное преобразование следующим образом:

(32А)

(33А)

В рассматриваемом частном случае отрезок прямой мировой линии, соответствующий данному процессу, есть линейный тензорный элемент в форме 4-вектора u. Его квадратичный псевдоевклидов инвариант выражается в виде:

(34А)

Этот инвариант приводится к тригонометрической форме:

(35А)

где γk' - гиперболический угол междуи её ортопроекцией на координатную псевдоплоскостьЭто есть

инвариант преобразований Лоренца для единичного времениподобного линейного элемента. Инвариантное собственное время в каком-либо псевдодекартовом базисе выражается тригонометрически в виде:

(36А)

Для криволинейной мировой линии то же, но мгновенное рота­ционное преобразование применяется к её дифференциалу как к линейному элементу:

(37А)

Элемент выражен в координатах мгновенной системы

которая на дифференциальном уровне в СТО всегда инерциальна (с точки зрения наблюдателя а их перевод осуществляется

в априори инерциачьную систему В дифференциальной форме

(38 А)

В результате интегрирования (38А) имеем соотношение где- псевдоевклидова длина отрезка мировой линии. Формулы (36А), (38А) выражают тригонометрически релятивистский эффект эйнштейнова замедления времени процесса в движущемся объекте. Это происходит с точки зрения наблюдателя N1 или любого другого инерциального наблюдателя, относительно которого движется данный объект. Указанный эффект, как и другие релятивистские эффекты в СТО, имеет чисто координатную природу. (В свою очередь, природа собственного времени требует отдельного обсуждения, что затрагивается в последней главе.) Отметим, что эффект сокращения времени в движущемся объекте исторически впервые установил Фойгт (1887 г.) и затем независимо от него Лоренц (1892 г.).