Дискретно-непрерывная математика (стр. 77 )

(429)

В частности, на этом множестве всегда имеется единичный ортогональный линеор (Заметим, что выполнение более

"широкого" условия (154) соответствовало бы множеству колпланарных линеоров относительно планара <im А1>.) Для колпланарных линеоров имеет место определяющее инвариантное соотношение:

Выявим на множестве колпланарных линеоров подмножество эквиранговых коаксиальных линеоров исходя из более строгого определяющего соотношениято есть:

Для пары коаксиальных линеоров имеют место простые модульные соотношения:

Ротационная сферическая матрица Rot Ф12, получаемая из (245), согласно (301), транслирует линеор А1 во множество линеоров, колпланарных на <im A2>.

где Ф12 - моторный сферический угол между планарами <im A1> и <im А2> ранга r. Следовательно, с учётом (429) любая пара экви-ранговых линеоров связана соотношением типа

(430)

где внутреннее линейное преобразование С вычисляется после внешней ротации Rot Ф12. Далее на этой основе определим сферически ротационно конгруэнтные между собой линеоры A1 и А2:

(431)

Для пары таких линеоров имеем модульные соотношения:

Эта пара образует 2r-мерный линеорный ромб сферического типа. В частности, центральные эквимодульные векторы всегда сферически конгруэнтны. Если то пара таких линеоров образует

линеорный квадрат:

В свою очередь, сферически ортогональный рефлектор получаемый из (247), согласно (301), тоже транслирует линеор А1 во множество линеоров, колпланарных на <im A2>:

Следовательно, с учётом (429) любая пара эквиранговых линеоров связана соотношением типа

(432)

где внутреннее линейное преобразование С вычисляется после вне­шней рефлексииТеперь на основе этого определим сферически зеркально конгруэнтные между собой чинеоры A1 и А2:

(433)

Для пары таких линеоров имеет место модульное соотношение

Здесь, в частности, можно использовать собственные срединные ортопроекторы, согласно формулам (253).

Таким образом, из эквиранговых линеоров, как и из векторов, формально возможно составлять разнообразные геометрические фигуры, обладающие теми или иными свойствами. Линеорное евкли­дово или квазиевклидово пространство, как и векторное, имеет валентность 1.

Нетрудно также определить псевдоевклидовы (гиперболические) аналоги вышерассмотренных линеоров специального вида и простейших линеорных фигур, используя при этом гиперболические варианты тензорных тригонометрических функций и рефлекторов. В свою очередь, псевдоевклидовы модули - матричные и скалярные геометрических объектов определяются с применением во внутренних мультипликациях линеоров фундаментального рефлектор-тензора пространства.

Микромодуль 40.

Варианты комплексификации тензорной тригонометрии

13.28. Адекватный вариант

Комплексные сферические углы вообще, то есть в проективном и в моторном вариантах, выражаются через сферические и гипер­болические вещественные углы в виде:

(434)

В комплексном евклидовом пространстве тензорная тригонометрия воплощается в результате адекватной комплексификации. Проективный тензорный угол в транспонированной форме выражается как (так как Моторный тензорный угол

в транспонированной форме выражается как (так как

Все геометрические понятия и формулы, кроме норм и неравенств, сохраняют свой прежний вид и значение. В частности, при вычислении миноранта и тензорного модуля используется простое транспонирование. Адекватный модуль для комплексных чисел ± с одинаков и вычисляется через их квадрат с использованием формулы Муавра (то есть вполне универсальным способом):

В частности, отсюда видно, что сохраняется соотношение Адекватный матричный евклидов модульдля матрицы А

вычисляют через промежуточную диагонализацию её внутрен­ней гомомультипликации посредством комплексного ортогонального модального преобразования:

гдеОткуда через формулу Муавра имеем:

В частности, сохраняется соотношение. В адекватном ва-

рианте все геометрические характеристики, в том числе углы и их функции, распадаются на вещественную и мнимую составляющие, хотя конечные (целевые) характеристики можно представлять в наиболее удобной форме. Адекватный вариант в простейшем случае применяется в комплексной евклидовой геометрии на плоскости, включая скалярную евклидову тригонометрию. Тождества Коши (n > 2) и Лагранжа (n = 3) сохраняют форму (142).

13.29. Эрмитов вариант

В эрмитовом пространстве осуществляется эрмитова комплекси-фикация вещественной евклидовой геометрии. Проективный сферический тензорный угол - эрмитова матрица Её собственные значения суть вещественные сферические скалярные углы εj. Напротив, моторный сферический тензорный угол - косо-эрмитова матрицаМодуль и евклидова норма в эрмитовом варианте тождественны. Тригонометрические неравенства и нормы матричных объектов сохраняют свое значение в эрмитизированных вариантах. Заметим также, что принцип бинарности остаётся в силе как при адекватной, так и при эрмитовой ком-плексификации, поскольку все необходимые предпосылки для него в комплексной тензорной тригонометрии сохраняются. Эрмитовы анало­ги клеточных формул (399), (400) получаются через соответствующие преобразования комплексных единичных векторов:

Здесь

В тригонометрическом базисе имеем клеточные формы:

В эрмитовом варианте все канонические W-формы в тригономет­рическом базисе вещественны и сохраняют свой прежний вид. Преобразование к каноническим W-формам осуществляет унитарная модальная матрица UW. На эрмитовой плоскости в базисе диагонального косинуса допускается эрмитово угловое смещение между парными функциями (косинус-синус, секанс-тангенс) с фазовым углом β:

(439)

(440)

Поэтому эрмитов тригонометрический базис, помимо диагональности косинуса (как прежде), должен обеспечивать ещё и вещественность W-формы. Эрмитово угловое смещение с фазовым углом βj на каждой собственной эрмитовой плоскости устраняется специальным эрмитово ортогональным (унитарным) модальным преобразованием Exp iβ/2 с приведением тригонометрических функций к вещественным каноническим формам.

Эрмитовы аналоги тождеств Коши (n > 2) и Лагранжа (n = 3) в соотношении (142) реализуются для координат пары векторов на эрмитовой плоскости при замене простого транспонирования на эрмитово. Заметим также, что эрмитов угол в общем случае есть весьма сложная функция от координат векторов или линеоров. Лишь в тригонометрическом базисе он приобретает вещественную каноническую форму тензорного сферического утла.