Дискретно-непрерывная математика (стр. 20 )

где с1, с2, ..., ст — некоторые комплексные числа (в случае евклидова пространства с1, с2, ..., ст — вещественные числа).

Для определения этих чисел будем исходить из соотношений

(192)

Подставляя в (192) вместо xS его выражение из (191), получим:

(193)

Рассматривая эту систему равенств как систему линейных однородных уравнений, имеющую ненулевое решение с1,с2, ..., ст, — 1, приравниваем опре­делитель этой системы нулю (предварительно транспонировав его относи­тельно главной диагонали):

(194)

(Определитель, стоящий в левой части равенства (194), представляет собой вектор, і-я координата которого получается, если в последнем столбце все векторы заменить их і-ми координатами (і = 1,2, .... п); координаты берутся в некотором произвольном базисе. Для оправдания перехода от (193) к (194) достаточно в последнем равенстве (193) и в последнем столбце в (194) заменить векторы их i-ми координатами).

Выделяя из этого определителя член, содержащий xS, получим (в легко понятных условных обозначениях):

(195)

где — определитель Грама для векторов (в силу линейной независимости этих векторов Из (190) и (195) находим:

(196)

Формулы (195) и (196) выражают проекции вектора х на подпростран­ство S и проектирующий вектор через данный вектор х и базис подпро­странства S.

Обратим внимание еще на одну важную формулу. Обозначим через h длину вектора xN. Тогда в силу (190) и (196)

,

т. е.

(197)

Величину h можно еще интерпретировать следующим образом:

Построим векторыиз одной точки и построим на этих векторах, как на ребрах, (т + 1)-мерный параллелепипед, h будет высотой этого параллелепипеда, опущенной из конца ребра х на основание S, проходящее через ребра

Пусть у — произвольный вектор в S, а х — произвольный вектор в R. Если все векторы построить из начала координат п-мерного точечного про­странства, то будут соответственно равны величинам наклонной и высоты, проведенным из конца вектора х к гиперплоскости S. Поэтому, записывая, что высота короче наклонной, имеем ():

(знак равенства лишь при Таким образом, среди всех векторов вектор наименее уклоняется от заданного вектора

хR. Величина является квадратичной погрешностью при приближении .

11.20. Геометрический смысл определителя Грама

1. Рассмотрим произвольные векторыДопустим сначала, что эти векторы линейно независимы. В этом случае определитель Грама, составленный для любых из этих векторов, будет отличен от нуля. Тогда, полагая согласно (197)

(198)

и перемножая почленно эти неравенства и неравенство

(199)

получим:

Таким образом, определитель Грама для линейно независимых векторов положителен, для линейно зависимых равен нулю. Отрицательным определитель Грама никогда не бывает.

Обозначим для сокращения Тогда из (198) и (199)

где V 2 — площадь параллелограмма, построенного на х1 и х2. Далее,

где V3 — объем параллелепипеда, построенного на векторах Продолжая далее, найдем:

и, наконец,

(200)

Естественно Vm назвать объемом m-мерного параллелепипеда, построен­ного на векторах как на ребрах.

(Формула (200) дает индуктивное определение объема т-мерного параллелепипеда).

Обозначим через координаты вектора в некотором ортонормированном базисе в R, и пусть

Тогда на основании (188)

и потому [см. формулу (200)]

(201)

Это равенство имеет следующий геометрический смысл:

Квадрат объема параллелепипеда равен сумме квадратов объемов его про­екций на все координатные т-мерные подпространства. В частности, при т = п из (201) следует:

(202)

При помощи формул (195), (196), (197), (201), (202) решается ряд основных метрических задач п-мерной унитарной и евклидовой аналитической геометрии.

2. Вернемся к разложению (190). Из него непосредственно следует:

что в сочетании с (197) дает неравенство (для произвольных векторов

(203)

при этом знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда вектор х ортогонален к векторам

Отсюда нетрудно получить так называемое неравенство Адамара

(204)

где знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы х1, х2,..., хт попарно ортогональны. Неравенство (206) выражает собой следующий геометрически очевидный факт:

Объем параллелепипеда не превосходит произведения длин его ребер и равен этому произведению лишь тогда, когда параллелепипед прямоугольный.

Неравенству Адамара можно придать его обычный вид, полагая в (204) т = п и вводя в рассмотрение определитель ∆, составленный из координат векторов в некотором ортонормированном базисе:

Тогда из (202) и (204) следует:

(205)

3. Установим теперь обобщенное неравенство Адамара, охватывающее как неравенство (203), так и неравенство (204):

(206)

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда каждый из век­торов ортогонален к любому из векторов либо один из определителей Г равен нулю.