Дискретно-непрерывная математика (стр. 39 )

(Здесь, как и впредыдущем случае, мы изменили обозначения).

Из всех уравнений (421), кроме первого, мы однозначно определяем

(422)

Подставляя полученное выражение для z1 в первое уравнение, получаем условие совместности:

(423)

4) Система (412) представляет собой систему вида

(424)

или в подробной записи

(425)

Отсюда последовательно однозначно определяем решение

(426)

5) Система (413) представляет собой систему вида

(427)

Как было показано ранее, общее решение такой системы имеет вид

(428)

здесь z0 — столбец с произвольными элементами (начальными значениями неизвестных функций при t = 0).

Обратный переход от системы (405) к системе (403) осуществляется фор­мулами (404) и (406), согласно которым каждая из функций х1, ..., хп является линейной комбинацией функций z1, ..., zn, а каждая из функций линейно (с постоянными коэффициентами) выражается через функции f1(t), ..., fm(t).

Проведенный анализ показывает, что для совместности системы (402) в общем случае должны выполняться некоторые определенные линейные конечные и дифференциальные зависимости (с постоянными коэффициентами) между пра­выми частями уравнений.

Если эти условия выполнены, то общее решение системы содержит (в общем случае) линейно как произвольные постоянные, так и произвольные функции. Характер условий совместности и характер решений (в частности количество произвольных постоянных и произвольных функций) определяются минималь­ными индексами и элементарными делителями пучка А + λB, поскольку от этих индексов и делителей зависит каноническая форма системы дифференциальных уравнений (409) — (413).

Микромодуль 30

Системные критерии и вырожденные задачи

Задачи на определение собственных и сингулярных чисел линейных операторов и соответствующих им функций с последующей идентификацией параметров математической модели встречаются при построении адаптивных систем. Критерии управляемости и наблюдаемости, используемые для анализа системных свойств объекта, имеют различные интерпретации, включая модальную. Хорошо известна, например, теорема Калмана о том, что для полностью управляемой и наблюдаемой системы можно реализовать любой спектр матрицы замкнутой системы назначением коэффициентов обратной связи по состоянию. Таким образом, в адаптивных системах задачи, связанные с определением и назначением спектров обычных матриц и линейных операторов, перекликаются и имеют много общего.

В микромодуле рассматривается подход, связанный с построением мер модального доминирования. Эти исследования в конечном итоге ведут к рассмотрению соответствующих системных критериев и мер идентифицируемости, необходимых для обоснованного применения идентификационных процедур, будь то обычные методы или методы, построенные с использованием результатов ганкелевого эксперимента, или экспериментов близких в определенном смысле к нему.

Модальный синтез - проблема, рассматриваемая еще Калманом. По своему происхождению она является наследницей другой, ставшей уже классической, алгебраической проблемы собственных значений. Такие задачи развиваются на протяжении длительного времени. Модальный синтез эксплуатирует одну из хорошо разработанных областей знания. Вычислительные особенности определения спектра матриц интенсивно изучались во второй половине двадцатого века, значительные успехи в этой области связаны с именами Дж. Френсиса и .

Выбор спектра является фундаментальным вопросом темы, вопросом, несмотря на его важность, до сих пор мало изученным. Порою спектр выбирается из весьма абстрактных геометрических построений на комплексной плоскости, таких, например, как задание собственных значений на дуге окружности с равными расстояниями между собой. Для многосвязных систем выбор спектра выливается в проблему роя собственных значений, когда их количество является большим, и совсем неочевидно, что со столь многочисленными характеристическими точками нужно делать. Очень неудачным представляется выбор доминирующих собственных значений по признаку одной лишь близости их к мнимой оси. Ясно, что в положении исходного спектра скрыты глубинные свойства системы, произвольное распределение его означает пренебрежение динамикой управляемого объекта.

Поэтому основной трудностью модального синтеза является не недостаток, а избыток параметров, влияя на которые можно получать системы с различными свойствами. Отсюда вытекает, в частности, уже упомянутая проблема роя, когда задача связана с изобилием возможностей. С этой точки зрения замена лобового назначения желаемого спектра указанием тенденции его изменения с опорой на некоторые меры модального доминирования, видится решением, сводящим выбор многих собственных значений к выбору одного или нескольких показателей, описывающих сжатие спектра.

Задача синтеза нередко сводится к решению какого-либо стандартного матричного уравнения. Наиболее известны линейное матричное уравнение Ляпунова и нелинейное матричное уравнение Риккати (оптимальный синтез по квадратичному критерию качества). Стандартные уравнения выделять выгодно, они привлекают внимание специалистов по вычислительной математике, обеспечивающих их квалифицированное решение. Вычленим, согласно известной методике, матричное уравнение, связанное с проблемой модального синтеза.

11.38. Матричное уравнение Сильвестра

Пусть линейная динамическая система имеет вид

(429)

где А - матрица системы (квадратная, п-го порядка), В - матрица входа размера п×т, С — матрица выхода размера — векторы состояния, управления и выхода соответственно, функции времени t ≥0.

В задаче модального синтеза при помощи линейных обратных связей по состояниютребуется синтезировать матрицу замкнутой системы с желаемым спектром который надо уметь задавать.

Для формулировки основного результата потребуются теперь некоторые уравнения и зависимости, вытекающие из решения матричного уравнения Сильвестра, изложенные ниже. А именно, введем отражающий свободу синтеза неопределенный матричный множитель М. Рассмотрим матричное уравнение

Представим матрицы разомкнутой и замкнутой систем разложениями в базисах их собственных векторов

где D, J - диагональные, в частности, а в общем - жордановы, матрицы собственных значений; V, S - матрицы соответствующих собственных векторов. Кроме указанного могут быть разложения с вещественными компонентами матриц.

С учетом разложения Q, после умножения матричного уравнения справа на S и группировки членов, имеем

Это уравнение нелинейно относительно неизвестных S и К. Вследствие умножения на S, оно приобрело лишние корни: ему будут удовлетворять не только тривиальные (нулевые) решения S и К, но также вырожденные матрицы. Поэтому его следует дополнить условием det S ≠ 0.

Параметризуем правую часть уравнения с помощью неопределенного матричного множителя М, исключающего нелинейную составляющую так, что KS = М, тогда

(430)

Получаем матричное уравнение Сильвестра, линейное относительно S. Решив его, далее вычислим матрицу обратных связей в виде К = MS-1.

В результате параметризации множество возможных решений задачи модального управления записано теперь в явной форме относительно искомой матрицы К. Оно определяется видом матричного множителя М, влияющего на правую часть уравнения Сильвестра

Операцию придания неопределенной матрице М некоторого конкретного значения назовем замыканием уравнения Сильвестра. Проблема замыкания уравнения центральный и важный для придания правильного направления синтезу многосвязных систем. Через него лежит путь к обоснованному решению проблемы выбора спектра и проблемы размещения собственных векторов замкнутой системы.

Ниже рассматривается подход, в котором матрица рассматривается несколько способов назначения М, связанных с различными мерами модального доминирования.

Явный вид решения уравнения Сильвестра, совпадающего с решением S(∞) дифференциального уравнения, имеет вид тогда при условии, что спектры матриц А и Q различны между собой. Частным случаем матричного уравнения Сильвестра является уравнение Ляпунова, получаемое при замене J на