Дискретно-непрерывная математика (стр. 95 )

вызванный внутренним ускорением (или замедлением) движения. Дифференциалы координатных скоростей вв окрестности

точки М выражаются в тригонометрической форме:

(78А)

(79А)

Причём в точке a dγ выражается в том же мгновенном

базисе вдоль мировой линии с постоянным еα и поэтому

Тогда внутреннее ускорение в системе с учётом (79А) вычисляется следующим образом:

(80А)

Для мгновенных систем отсчётав пространстве-времени

Минковского СТО используется на дифференциальном уровне (с последующим интегрированием получаемых выражений). Поэтому логично, что принимается мгновенно инерциальной.

Одновременность трактуется здесь именно в универсальном базисе .

Ввиду того что внутренняя скорость окрестности точки М

исчезающе мала, объект в системе имеет инертную массу, равную массе покоя m0. Следовательно, при действии на материальный объект в момент времени τ некоторой собственной силы F в направлении оси х(m) он получает в системевнутреннее ускорение, согласно 2-му закону механики Ньютона:

(81 А)

Собственная сила F, действующая в тождественна во всех

системах отсчёта (например, для силы инерции это есть число по шкале динамометра в Точно также и масса покоя m0 не зависит

от системы отсчёта. Ввиду этого внутреннее ускорение, определяемое формулами (80А), (81 А), есть абсолютный инвариант. В отличие от соответствующих относительных инвариантов эта характеристика непосредственно от γ (или от скорости движения) не зависит. Значение внутреннего ускорения первично определяется каким-либо абсолютным законом, вызывающим действие собственной силы именно в точке её приложения. В силу принципа относительности для его значения безразлично: движется расчётная координата х(m) или покоится. С учётом этого обстоятельства именно g(τ) является базовым ускорением в теории относительности. Оно же однозначно определяет гиперболическую кривизну мировой линии в пространстве-времени Минковского. Причём при тангенциальном ускорении мировая линия вместе с векторными параметрами движения остаётся в пределах одной и той же псевдоплоскости и В частности, постоянное

тангенциальное внутреннее ускорение задаёт равномерно

ускоренное (замедленное) движение по псевдоокружности (гиперболе). Заметим, что кинематическая гипербола всегда принадлежит соб­ственному гиперболоиду I Минковского с общим их центром. Впервые такой простейший тип неравномерного релятивистского движения в СТО был изучен Минковским, а затем - в работах Борна и Зоммерфельда.

Представляют интерес ещё два типа тангенциального ускорения. Собственное ускорение в с учётом (76А). (80А) вычисляется следующим образом:

(82А)

Оно больше внутреннего ускорения, ввиду того что в (80А) диф­ференциал d2 x(m) (как х(m) и dx(m)) релятивистски сокращён в сравнении с собственной величиной d2x(1).

Координатное ускорением с учётом (78А), (80А) наоборот меньше внутреннего:

(83А)

В изучаемых инвариантах движения в качестве временных параметров используются ct(1) и сτ. Инварианты движения синхронны в универсальном базисе , если они фиксируются в нём одновремен­но по обоим хронометрам. Соотношения одновременности исходя из проецирования времени параллельно в дифференциальной и

интегральной формах в имеют вид:

(84А)

(85А)

Они получаются срезом параллельно оси х(1) = χ. Собственное время сτ, согласно (84А), есть псевдоевклидова длина дуги мировой линии. При интегральном движении (также коллинеарном) угол γ и скорость v изменяются непрерывно. В частности, при равномерно ускоренном движение С учётом (80А), (84А) имеем:

(86А)

(87А)

Причём - гиперболическая угловая псевдоскорость,

- радиус гиперболической кривизны (в том числе как мгновен­ные характеристики). Теперь указанные соотношения одновременности для равномерно ускоренного движения в можно выразить через временные аргументы:

(88А)

(89А)

Продолжим изучение прямолинейного равномерно ускоренного движения. Координатная и собственная скорости такого движения — функции координатного времени, но они выражаются синхронно в и через собственное время:

(90А)

(91А)

Эти неравенства имеют тригонометрическую природу:

Собственное расстояние как функция времени по хронометру

наблюдателя N1 имеет вид:

(92А) Неявным образом функциональная связь между χ и ct(1) устанавливается через соотношения:

(93А)

Как из (92А), так и из (93А) выводится гиперболическое кинема­тическое уравнение для описания равномерно ускоренного движения в координатах

(94А)

С точки зрения геометрии Минковского это уравнение задаёт псевдо­окружность вещественного радиуса а в аффинном смысле — гиперболу. Её траектория имеет постоянную гиперболи­ческую кривизну В СТО данный тип движения поэтому именуется как гиперболическое. Это простейший тип коллинеарного интегрального движения. Кинематическая гипербола занимает про­межуточное положение между нерелятивистской кинематической параболой от t(1) и изотропной прямой светового луча, исходящей из точки О [рис. 2А (3)]:

(95А)

То же собственное расстояние как функция времени по хронометру наблюдателя Nm имеет вид:

(96А)

Это уравнение гиперболической косинусоиды (цепной линии), представленное в специальных собственных квазидекартовых координатах [(рис. 2А(4)]. Прямолинейная осьздесь

получается из гиперболической спрямлением и сферической

ортогонализацией по отношению к собственному евклидову подпространству то есть в данном случае к оси χ.

Формально это осуществляется преобразованием мгновенных характеристических углов движения по сферическо-гиперболической аналогии конкретного синус-тангенсового типа:

В таких квазидекартовых координатах тангенс угла наклона мировой линии (по отношению к стреле собственного времени) определяет тригонометрически собственную скорость объекта, согласно (76А). Сферический угол движения в базисе заключается в пределах от О до π/2. Специальное квазиевктдово пространство определяется здесь как прямая сферически квазиортогональная сумма собственного евклидова подпространства и преобразованной по синус-