Дискретно-непрерывная математика (стр. 5 )

Тогда матрица, отвечающая тому же оператору А в новых базисах , согласно (35) и (36) будет иметь вид

(37)

В матрице Ir вдоль главной диагонали сверху вниз идут r единиц; все остальные элементы матрицы Ir равны нулю. Так как матрицы А и Ir соответ­ствуют одному и тому же оператору А, то они эквивалентны между собой. По доказанному эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Поэтому ранг исходной матрицы А равен r.

Мы показали, что произвольная прямоугольная матрица ранга r эквива­лентна «канонической» матрице Ir. Но матрица Ir полностью определяется зада­нием размеров т×п числа r. Поэтому все прямоугольные матрицы данных размеров т×п данного ранга r эквивалентны одной и той же матрице Ir и, следовательно, эквивалентны между собой. Теорема доказана.

3. Пусть дан линейный оператор А, отображающий n-мерное пространство R в m-мерное S. Совокупность векторов вида Ах, где х R, образует векторное пространство (cовокупность векторов вида удовлетворяет постулатам 1—7 п.11.1, поскольку сумма двух векторов вида и произведение такого вектора на число снова дают вектор такого вида). Это пространство мы будем обозначать через AR; оно составляет часть пространства S или, как говорят, является подпространством в пространстве S.

Наряду с подпространством AR в S рассмотрим совокупность всех век­торов х R, удовлетворяющих уравнению

Ах = 0. (38)

Эти векторы также образуют подпространство в R; это подпространство мы обозначим через NА.

Определение 9. Если линейный оператор А отображает R в S, то число измерений r пространства AR называется рангом оператора Аг), а число измерений d пространства NА, состоящего из всех векторов х R, удовлетво­ряющих условию (38), — дефектом оператора А.

(Число измерений пространства AR всегда ≤ числа измерений пространства R, т. е. r≤n, Это следует из того, что равенство— базис в R) влечет равенство ).

Среди всех эквивалентных прямоугольных матриц, задающих данный опе­ратор А в различных базисах, имеется каноническая матрица Ir. Обо­значим через

соответствующие ей базисы в R и S. Тогда

Из определения AR и N следует, что векторы образуют базис в AR, а векторысоставляют базис в Na. Отсюда вытекает, что r — ранг оператора А и

d=n-r. (39)

Если А — произвольная матрица, соответствующая оператору А, то она эквивалентна Ir и, следовательно, имеет тот же ранг r. Таким образом, ранг оператора А совпадает с рангом прямоугольной матрицы

определяющей оператор А в некоторых базисах

В столбцах матрицы А стоят координаты векторов Так как из следует

то ранг оператора А, т. е. число измерений RA, равняется максимальномучислу линейно независимых векторов среди Таким образом, ранг матрицы совпадает с числом линейно независимых столбцов матрицы. Поскольку при транспонировании строки матрицы делаются столбцами, а ранг не меняется, то число линейно независимых строк матрицы также равно рангу матрицы.

4. Пусть даны два линейных оператора A, В и их произведение С = АВ. Пусть оператор В отображает R в S, а оператор А отображает S в Т. Тогда оператор С отображает R вТ:

Введем матрицы А, В, С, соответствующие операторам А, В, С при не­котором выборе базисов в R, S и Т. Тогда операторному равенству С = АВ будет соответствовать матричное равенство С = АВ.

Обозначим через rА,rB, rC ранги операторов А, В, С, или, что то же, ранги матриц А, В, С. Эти числа определяют число измерений подпространств AS, BR, A(BR). Посколькуто . (RS означает, что совокупность R составляет часть совокупности S). Кроме того, число измерений A(BR) не может превосходить числа измерений BR. Поэтому

rC ≤rА, rC≤rB.

Эти неравенства были нами получены ранее из формулы для миноров произведения двух матриц.

Рассмотрим оператор А как оператор, отображающий BR в Т. Тогда ранг этого оператора будет равен числу измерений пространства A(BR), т. е. rC. Поэтому, применяя формулу (39), получим:

rС = rB –d1, (40)

где d1 — максимальное число линейно независимых векторов из BR, удовле­творяющих уравнению

Ах = 0. (41)

Но все решения этого уравнения, принадлежащие S, образуют подпростран­ство d измерений, где

d = п - rА (42)

— дефект оператора А, отображающего S в Т. Поскольку BRS, то

d1 ≤ d. (43)

Из (40), (42) и (43) находим:

Таким образом, мы получили следующие неравенства Силь­вестра для ранга произведения двух прямоугольных матриц А и В с раз­мерами

(44)

Если матричное уравнение АХВ=С, где размеры прямоугольных матриц имеет решение X, то из неравенств Сильвестра легко следует:

Можно доказать, что если уравнение АХВ=С имеет какое-либо решение, то оно имеет решение любого ранга r, заключенного между числами rC и п +р — rA- rB.

11.6. Линейные операторы, отображающие п-мерное пространство само в себя

1. Линейный оператор, отображающий п-мерное векторное пространство R само в себя (в данном случае R ≡ S, п = т), мы будем просто называть линейным оператором в R.

Сумма двух линейных операторов в R, а также произведение такого опе­ратора на число — снова линейные операторы в R. Умножение двух таких линейных операторов всегда выполнимо, и произведение их есть снова линей­ный оператор в R. Таким образом, линейные операторы в R образуют кольцо. В этом кольце имеется единичный оператор, т. е. оператор Е, для которого

При этом для произвольного оператора А в R