Дискретно-непрерывная математика (стр. 58 )

Согласно формуле Бине — Коши, его детерминант есть сум­ма всех парных произведений детерминантов миноров порядка t с одним и тем же набором номеров столбцов. При транспонировании матриц А1 и А2 во всех указанных формулировках строки заменяют на столбцы, а столбцы на строки. Именно так устанавливается взаимно­однозначное соответствие между двумя совокупностями Сnt∙Сmt произведений детерминантов миноров, которые в сумме составляют скалярные коэффициенты порядка t для матриц A1∙A2' и A1'∙A2. Следовательно, эти коэффициенты равны между собой, что даёт формулу перегруппировки:

(120)

В частности, если А1 = А2 = А, то

(121)

Для высшего порядка t = r определим положительную характе­ристику прямоугольной матрицы — минорант:

Из (121) непосредственно видно, что минорант равен квадратному корню из суммы квадратов детерминантов всех базисных миноров матрицы.

Частные случаи для миноранта.

1) Пусть n>m=r. Тогда, и квадрат миноранта равен определителю Грама для совокупности m вектор-столбцов А.

2) Пусть m = 1. Тогда минорант есть евклидова норма вектора а.

3) Пусть n =m=r. Тогда минорант есть модуль детерминанта квадратной матрицы.

Используя (67), нетрудно получить минорант гомомультипликации

Пусть- расширенная по столбцам матрица уравнения (115).

С учётом (116), используя известное свойство определителя Грама, получаем формулу

(122)

В частности, отсюда имеем формульное выражение теоремы Кронекера - Капелли через значение суммы квадратов детерминантов всех миноров порядка (r + 1):

Представим формулу (122) тригонометрически

(123)

В частности, получаем формулу для синуса угла между двумя векто­рами

(124)

Используя связь миноранта n×m-матрицы с определителем Грама для совокупности её вектор-столбцов (m ≤ n), нетрудно установить его геометрический смысл. Вначале рассмотрим случай m = r. (Такие специальные матрицы широко используются далее для представления линейных геометрических объектов.) Запишем матрицу в виде набора вектор-столбцов. Пусть Аj есть n×j-матрица, образуемая первыми j вектор-столбцами. Каждая последующая Аj+1 рассматривается как расширенная матрица К ней применяются формулы (119) и (122) или известная геометрическая связь с корнем из определителя Грама. В результате последовательного применения этих формул получаем выражение для миноранта в виде (125)

где vк - обобщённый r-мерный объём косого параллелепипеда, натяну­того на вектор-столбцы матрицы При n= m=r имеет место синусное неравенство Адамара. Кроме того, на основании (74) имеем:

(126)

где σi2 - ненулевые собственные значения матрицы АА' или А'А.

В самом общем случае коэффициенты выражаются

либо геометрически как суммы квадратов частных t-мерных объёмов, либо алгебраически как суммы Виета для собственных значений:

(127)

Если используются декартовы координаты, то vt(p) есть ортопроекция объёма vt ранга t. Отношение есть р-й направляющий

косинус. Формула (127) выражает теорему Пифагора для линейных объектов, задаваемых, в частности, n×r-матрицей. Все вышеуказанные характеристики всегда положительны и инвариантны по отношению к ортогональному преобразованию вектор-столбцов или вектор-строк А и базиса. Например,

(128)

Здесь, возможно, сингулярные арифметические корни связаны с матрицей через квазиполярное разложение (называемое ещё как QR-разложение):

(129) (130) Нетрудно видеть, что здесь преобразование А → Rq тождественно по результату процессу ортогонализации Грама — Шмидта для системы m линейно независимых векторов:

Это алгебраическое преобразование есть его некий однозначный вариант (для заданной последовательности). Вообще же в евклидовом пространстве процесс ортогонализации Грама — Шмидта приобретает мнемонически более удобную алгебраическую форму и более оче­видную геометрическую интерпретацию в сравнении с классической, если для его реализации применять ортопроекторы:

12.14. Синусные характеристики матриц

Если гдето в декартовом базисе матрица Е

задаёт n-рёберный (полигранньтй) тензорный угол ва

согласно неравенству Адамара (см. выше), определяет его скалярную синусную характеристику. Этому же полигранному углу однознач­но соответствует взаимный тензорный угол, задаваемый матрицей

где Еi получают из исходной Е обнулением i-гo столбца. Причём имеем ряд соотношений:

Внутренние мультипликации этих двух матриц связаны формулами:

(131)

Во взаимных базисах матрицы суть

соответствующие взаимные метрические тензоры. Синусные харак­теристики взаимных тензорных углов связаны формулой

Откуда следует, что Однако

в данном модуле изучаются только тензорные углы бинарного типа, то есть углы, образуемые парами линейных подпространств (при r = 1 — прямых) или парами конечных линейных объектов (при r = 1 - векторов).

Вернёмся к специальным прямоугольным матрицам (n>m=r). Докажем, что для миноранта их внешних мультипликаций имеет место формула расщепления

(132)

Используя определение миноранта, квазиполярное разложение типа (130) и формулу (128), последовательно получаем

Далее для внешних мультипликаций будут применяться обозначе­ния:

где для специальных прямоугольных матриц имеем:

С учётом того, что m = rang А, имеем:

(133)

С учётом формул (61), (62) и (132), (133) имеем:

(134)

Пусть теперь ранг обеих прямоугольных матриц может отличаться, но Определим их внешнюю суперпозицию как {A1|A2}.

Обобщая (123), вводим синусное отношение:

(135)

Оно обобщает классическое соотношение (124) для синуса угла между векторами а1 и а2. Синусное отношение имеет природу полу-опредёленной нормы. Отметим также, что с использованием миноран­та классическая теорема Кронекера - Капелли естественным образом обобщается на матричные линейные уравнения типа (105) - (107):

(136)

12.15. Косинусные характеристики матриц

Далее определим ещё одну высшую скалярную характеристику, но только для квадратной матрицы — дианаль:

Используя понятия минорант и дианаль, определим другую скаляр­ную тригонометрическую характеристику - косинусное отношение: