Дискретно-непрерывная математика (стр. 81 )

(483)

где u(1) - точечный объект, выраженный в базисепричём

u( j) - тот же точечный объект в базисе

(Т1j — пассивное преобразование координат объекта.)

(484)

где u(1) - производящий точечный элемент, причём

uj — результирующий точечный элемент.

(Т - активное преобразование координат элемента.)

Вышеизложенное представление общего тригонометрического преобразования собственных подпространств в целом их гипербо­лической ротацией, вообще говоря, не относится к каким-либо подмножествам этих подпространств, например к координатным осям базиса. Из (481), где матрицы выражены в базисах своего действия, но даны в обратном порядке, следует, что координатные оси последовательно подвергаются сферической ротации Rot Θ и гипер­болической ротации

Матрица преобразования Т может рассматриваться как двух­валентный, псевдоевклидово квазибиортогональный тензор в силу (460). То же относится и к матрице базисаЭтот тензор

расщепляется на пару однородных и пару смешанных тензоров, то есть однородные (n×n и q×q) и смешанные (n×q и q×n) бипроекции:

- проекция на исходное пространствуподобных единичных векторов базиса как проекции базиса на новое

- проекция на исходное времениподобных единичных

векторов базиса как проекции базиса на новое

— аналогичные смешанные проекции.

При транспонировании матрицы базиса проекции отражаются зеркально относительно её главной диагонали. Это, например, происходит при изменении последовательности многоступенчатых гиперболических ротаций на противоположную.

13.34. Многоступенчатые гиперболические ротации

Многоступенчатые гиперболические ротации в случае тригономет­рической согласованности ротационных матриц между собой остаются чисто гиперболическими. Это соответствует в ротациях (363), (364) и в СТО для суммируемых движений (скоростей) равенству направляющих косинусов с точностью до общего коэффициента «±1». При этом гиперболические углы в итоговой ротационной матрице суммируются алгебраически, то есть с учётом знака данного коэффициента. Но если частные ротационные матрицы не согласованы тригонометрически между собой (хотя все они согласованы с рефлектор-тензором), то тогда многоступенчатые гиперболические ротации сводятся, как правило, к общему тригонометрическому преобразованию, в том числе в полярных формах (474), (475). Пусть в каком-либо единичном базисе {1} заданы матрицы частных гиперболических ротаций:

Как преобразования они осуществляются последовательно в базисах:

После трансляции матриц частных ротаций из координат базисов, где они действуют, в координаты исходного базиса получаем формулу итогового многоступенчатого преобразования базиса

(485)

Например, её можно доказать по индукции, начиная с t = 3:

(486)

В формулах (485), (486) в итоге имеет место обратный порядок расположения частных гиперболических матриц, так как они задают последовательные преобразования базиса в координатах собственных единичных базисов.

В свою очередь, координаты тензорных объектов преобразуются пассивно, но в прямом порядке расположения матриц:

(487) (488)

Здесь модальные матрицы также выражены в координатах собственных единичных базисов то есть как они были заданы исконно в единичном базисе {I}.

В псевдоевклидовой геометрии матрица чисто гиперболической ротации - либо симметричная, либо нет, но всегда простая. Всё зависит от того, в каком базисе она действует и выражается. Общее правило тут такое. Эта матрица всегда симметричная в любом псевдодекартовом базисе своего действия как модальная.

В координатах же исходного базиса при она несим-

метричная. Матрицы вида представляют

одну и ту же гиперболическую ротацию, заданную соответственно в универсальном базисе и в псевдодекартовом базисе своего действия. Простая матрица гиперболической ротации также принадлежит группе Лоренца. Её W-форма и собственные углы γj — те же, что и у симметричной матрицы. Это выделяет множество чисто гиперболи­ческих ротаций с простыми матрицами в группе Лоренца.

Aналогичные выводы относятся к сферическим ротациям

Они, как и гиперболические ротации, могут быть выражены либо в универсальном базисе, либо в базисе своего действия .

При активном многоступенчатом гиперболическом ротационном преобразовании производящего точечного элемента вчастные модальные матрицы образуют обратный порядок, так как те же матрицы действуют последовательно в своих базисах:

(489) (490)

Все вышеуказанные соотношения (485) - (490) выражают частные случаи общего правила многоступенчатых линейных преобразований. Например, аналогичные последовательности из сферических ротационных матриц составляются в евклидовой геометрии для многоступенчатых сферических движений. Для анализа многоступенчатых гиперболических ротаций используется полярное представление

(491) (492) (493)

Таким образом, двух - и многоступенчатые гиперболические ротации в общем случае разлагаются на две составные ротации чистых типов: сферическую и гиперболическую.

Согласно (491) во втором варианте, сначала осуществляется внутренняя сферическая ротация на угол Θ исходного базиса вместе с (на Θ n×n) и (на Θ q×q). При этом указанные

собственные подпространства в целом как множества остаются постоянными. Затем осуществляется гиперболическая ротация на угол смещённого базиса Е х ц вместе с

Именно так она воспринимается из. Но в эта же ротация

воспринимается как на тензорный угол Г по первому варианту (491).

В формулах (492), (493) выражены соответствующие изменения координат одновалентного тензорного объекта (линейного элемента u или линеора А ) Эти изменения геометрически воспринимаются так, как если объект сначала был подвергнут сферической ротации на угол Θ, а затем гиперболической ротации на угол. Но последняя из воспринимается как ротация Г. В пространстве Минковского <P3+1> как пространстве событий СТО это изменение первоначальной сферической ориентации на угол Θ неточечного объекта в евклидовом подпространстве в результате последовательного сложения скоростей с отличающимися направлениями является тоже релятивистским эффектом (именуемым по физической терминологии как буст), равно как и гиперболический характер закона сложения скоростей. В свою очередь, в общем псевдоевклидовом пространстве <Р n+q> изменяется внутренняя сферическая ориентация гиперболических проекций тензорного объекта в(на угол Θn×n) и в (на угол Θq×q) относительно декартовых осей базиса этих подпространств. При противоположной последовательности частных ротаций имеем: