Дискретно-непрерывная математика (стр. 63 )

(224)

Например, такой вариант имеет место для пары векторов. Согласно (120) и (213)-(216), имеем:

(225)

При условии (224) имеем:

(226)

Для нуль-простой матрицы В частности, для нуль-нормальной матрицы имеем <im B> = <im B'> и в соответствии с (97) получаем:

Для нуль-дефектной матрицы имеем:

Скалярная характеристика в евклидовом пространстве, при условии (224), играет также роль критерия хотя бы частичной ортогональности линеоров или планаров. С другой стороны, определительв

аффинном пространстве играет роль критерия хотя бы частичной их параллельности.

(227) (228) (229) (230)

где для евклидова пространства

Полная параллельность линеоров или планаров отвечает нуль-нормальной матрице. Согласно (97) и (132), это тождественно соотно­шению:

С учётом (224) это же соответствует отношению параллельности (153). Впоследствии формула (231) получит тригонометрическую трактовку.

В свою очередь, полная ортогональность линеоров или планаров отвечает нильпотентной матрице 2-го порядка: В2 = Z (С = Z). С учё­том (224) это же в евклидовом пространстве соответствует отношению ортогональности (155):

Тензорный угол и его тригонометрические функции имеют,

конечно, более общий характер, нежелии его функции, так как они допускают исходно использование матриц А1 и А2 размера n×r1 и n×r2, где r1, и r2 не обязательно равны. Например, если r2 ≤ r1, то общая параллельность линеоров А1 и А2 сводится к отношению (154). С другой стороны, при любом соотношении r1 и r2 общая ортогональ­ность линеоров А1 и А2 сводится к отношению (155). Тождественность определяется условием (223).

В тензорной тригонометрии в зависимости от конкретных задач применяется та или иная форма представления тензорных углов и их функций.

13.5. Канонические монобинарные клеточные формы сферических тензорных тригонометрических функций и рефлекторов

Параллельность и ортогональность линейных объектов являются только крайними случаями для тензорных углов между ними. Далее, чтобы выполнить полный анализ такого рода отношений, нужно вышеуазанные проективные тригонометрические функции предста­вить в канонической форме, найти их собственные значения и установить информативные скалярные характеристики тензорного угла. Обратимся к разностям ортопроекторов типа (163), которые выражают проективный синус в двух вариантах. Согласно (182) - (184), собственные значения синуса и косинуса суть вещественные числа, находящиеся в интервале -1 ÷ +1:

(232)

В евклидовом пространстве указанные собственные значения связаны с некоторыми характеристическими скалярными углами. Обратим внимание на то, что используемые в обоих вариантах разностей (163) характеристические проекторы попарно ортогональны. Ввиду симметричности этих проекторов им же соответствуют четыре соб­ственных подпространства: Причём имеем:

(233)

В первом варианте (163) синус рассматривается на подпространстве а во втором варианте-на Напротив, в первом варианте (171) косинус рассматривается на подпространстве а во втором варианте – на . Пусть для определённости: r2 ≥ r1, r1+r2≤n. Исходное евклидово пространство по отношению к вышеуказанным вариантам разностей проекторов распадается в общем случае на четыре базисных подпространства как в синусном, так и в косинусном вариантах (рис. 2). Эти подпространства попарно ортогональны при условиях:

(234)

В свою очередь, при данных условиях подпространства пересечений и их размерности выражаются в виде:

Рис. 2. Распределение собственных значений проективных тензорных синуса и косинуса по характеристическим подпространствам:

— в синусном варианте;

— в косинусном варианте

(условно принято, что

Выделим собственное бинарное тригонометрическое подпрос­транство в двух вариантах его бинарного разложения на прямые ортогональные суммы - синусном и косинусном:

(235)

(Оно имеет всегда чётнуго размерность 2τ — тригонометрический ранг угла.) Здесь - количество бинарных собственных углов φi. Но в данном случае τ=r1. Собственные значения тригонометрических функций во взаимных подпространствах (235) попарно равны по абсолютной величине, так как стороны собствен­ных углов в силу (233) попарно ортогональны. Но эти собственные значения противоположны по знаку, так как порядки следования проекторов в обоих вариантах (163) и (171) взаимно обратны. Ввиду симметричности проективного косинуса и синуса последние приводятся к диагональной форме посредством ортогонального модального преобразования. Для того чтобы собственные значения углов и функций имели тригонометрический смысл, здесь используется евклидово пространство с заданием в нём исходного декартова базиса. Каждой i-й бинарной тригонометрической клетке в (235) соответствует i-я собственная евклидова плоскость. На этой плоскости имеется пара ортогональных собственных вектор-осей тензорного косинуса ui и vi. Им отвечают собственные значения косинуса где φi - собственные значения тензорных углов между планарами (а не линеорами!). Эти, пока неориентированные собственные векторы задают 1-ю и 2-ю декартовы оси на собственной плоскости. С целью придания канонической формы проективным тригонометрическим функциям расположим тригонометрические клетки вдоль главной диагонали в направлении увеличения значений затем по диагонали расположим моноклетки, соответствующие Далее установим парное соответствие между исходными и новыми декартовыми осями:

Выбираем ориентацию новых

осей так, чтобы углы между ними в этих парах были острыми. Согласно (232), квадраты проективных функций в пределах тригонометрической 2×2-клетки имеют парные собственные значения. В силу условия коммутативности квадратов (184) диагональные формы квадратов синуса и косинуса реализуются в одном и том же декартовом базисе:

Из условия антикоммутативности проективных функций (183) и их симметричности следует, что в базисе диагонального косинуса они имеют канонические формы:

В (236) из двух возможных контрадиагональных форм синуса — положительной и отрицательной выбрана первая, что соответствует определениям (163), (171). См. также об этих простейших формах далее. Заметим, что для угла подпространство нулевое, а Согласно (199) и (204), имеем: