Дискретно-непрерывная математика (стр. 114 )

В окрестности каждой своей мировой точки М мировая линия (траектория) полностью характеризуется четырьмя абсолютными векторными дифференциально-геометрическими параметрами - по числу измерений пространства событий <Р3+1>. (Предпосылкой для такой картины является абсолютная теория кривых Френе - Серре.) Они задают её ориентацию и конфигурацию в окрестности точки М. Ориентация этих векторных параметров определяется через координаты в исходном универсальном базисе Их модульные характеристики суть инварианты преобразований Лоренца в <Р3+1'>. Ориентация мировой линии в точке М вычисляется в координатах через скалярный угол движения γ и его направляющие косинусы:

(217 А)

В частности, для равномерного и прямолинейного физического движения имеем:

Для простого прямолинейного физического движения (гл. 5А) в имеем: еα = const, для простого равномерного физического движения в имеем: γ = const.

Мгновенный собственный псевдодекартов базис определяемый касательной гиперболой в точке М мировой линии, задаётся через ротацию (74А). Причём центр базиса всегда тождествен центру этой гиперболы. Матрица преобразования rothопределяется

в канонической структурой (363).

Псевдоевклидова интегральная длина дуги мировой линии отмеряемая от какой-либо условно начальной точки О, есть её внутренний параметр-аргумент. Для количественной характеризации абсолютного движения материальной точки вдоль мировой линии в теории относительности применяется так называемая 4-скорость (4-вектор) или псевдоскорость (скаляр), впервые введённая Пуанкаре:

(218 А)

Здесь «с» по математической сути есть постоянный нормирующий масштабный множитель Пуанкаре, придающий изотропность и мет­рические свойства пространству-времени (гл. 1А). По физической сути это есть координатная скорость света в межзвёздном вакууме. В свою очередь,- мгновенная дифференциальная стрела собственного времени; i (сτ) - текущая единичная касательная к мировой линии, определяющая геометрически её ориентацию в <Р3+1>. Итак, i (сτ) есть первый из дифференциально-геометрических параметров мировой линии, а именно её параметр первого порядка по дифференциалу длины дуги. По метрике он времениподобен, так как

Гиперболическая ортопроекция вектора с (сτ) в <Р3+1> на есть относительная, или физическая скорость материальной точки там же. Физическая скорость v как 3-вектор изменяется тогда и только тогда, когда изменяется ориентация мировой линии, то есть векторов с и i. Это происходит всегда и только при воздействии на материальную точку какой-либо собственной силы или равнодействующей нескольких собственных сил. В частности, эта сила или одна из этих сил может быть вызвана воздействием на неё поля тяготения гравитирующих масс. Модуль псевдоскорости абсолютного движения любых материальных объектов есть константа «с» (что для электрона, что для звезды и т. д.).

Вышесказанное позволяет сформулировать следующий постулат. Все материальные объекты перманентно движутся в абсолютном пространстве-времени Минковского, в том числе в поле тяготения, по собственным мировым линиям с постоянной в нем локальной координатной скалярной псевдоскоростью «с».

Такая трактовка абсолютного движения реализуется именно при его трансляции в любой псевдодекартов, или галилеевски инерциальный базис (гл. 9А). Заметим, что в данном утверждении константа «с» и коэффициент однородности Пуанкаре совпадают. Особо отметим то, что «с» принимается константой лишь на основе данных земных наблюдений. Поэтому любые подобные утверждения, строго говоря, не могут распространяться на Вселенную в целом.

Данный постулат, во-первых, позволяет рассматривать мировые линии как абсолютные динамические времениподобные траектории в плоском метрическом пространстве событий и определить вдоль них дополнительные кинематические характеристики абсолютного движения материи - более высоких порядков, нежели «с». Во-вторых, он весьма просто и естественно объясняет природу перманентного движения материи по мировым линиям как течение собственного времени τ и обратно. Следовательно, собственное время τ течёт с той же абсолютной и постоянной скалярной псевдоскоростью «с»; при этом меняется только направление стрелы собственного времени, а именно - при любом преодолении силы инерции материи. Отсюда же измеряемые в полный импульс и полная энергия движения материи составляют Р= mс и E= mс2. В-третьих, он с учётом формулы (205А) объясняет математически и физически причину гиперболического характера искривления мировой линии в <Р3+1> при физическом движении с ускорением или с замедлением.

Причиной именно гиперболического искривления мировых линий при отклонении от прямолинейной траектории является то, что вектор

внутреннего ускорения как и вызывающая его собственная сила, всегда направлены гиперболически ортогонально с(τ). Ввиду постоянства модуля вектора псевдоскорости его дифференцирование вдоль мировой линии даёт гиперболически ортогональный ему вектор-производную:

(219 А)

Здесь используется обнуление скалярного произведения вектора с(τ) только с первым его векторным дифференциалом, хотя аналогичное имеет место и для его дифференциалов более высоких порядков. Математически гиперболическое искривление мировой линии выража­ет её мгновенная абсолютная гиперболическая кривизна:

(220А)

Тут имеется некая псевдоаналогия с физическим движением по окружности. Как 4-векторы эти абсолютные пространствуподобные параметры движения второго порядка по дифференциалу длины дуги направлены по псевдонормали:

(221 А)

При естественном - не скачкообразном изменении скорости физи­ческого движения мировые линии суть регулярные непрерывные кривые в <Р3+1>. Они всегда времениподобны, то есть имеют ограничение по углу наклона к оси

Их объемлющую размерность характеризует порядок линейного вложения λ. Это, по определению, есть минимальная размерность объемлющего данную кривую плоского подпространства в базовом метрическом пространстве событий или в данном случае - плоского подпространства-времени. Для кривой в <Р3+1> порядок λ находится в пределах от 1 до 4-х. Прямой линии соответствует λ = 1; плоской кривой отвечает λ=2, например для гиперболического движения, и т. д.

Из теории регулярных кривых в плоском метрическом простран­стве следует, в частности, что для произвольной точки М на криволинейном участке мировой траектории при λ>2 однозначно определяется мгновенная абсолютная соприкасающаяся псевдоплоскость кривизны:

В универсальном базисе мгновенный единичный времени-подобный вектор касательной i(ct), см. формулу (218А), выражается тригонометрическим образом в результате 1-го дифференцирования:

(222А)

Вектор i(ct) есть орт мгновенной стрелы собственного времени или четвёртый вектор-столбец мгновенной модальной матрицы roth Г. В свою очередь, характеристики р(сτ) и К(сτ) вычисляются в результате 2-го дифференцирования вдоль мировой линии после (222А):

(223А)

Абсолютные 4-векторы р и k приложены в точке М и направлены всегда от центра касательной гиперболы в соприкасающейся псевдо­плоскости <Р1+1>K(m) в сторону вогнутости мировой линии. Ввиду того что скалярные характеристики К, R и g суть модули пространству-подобных векторов, то все они - положительные величины. Факт равномерности криволинейного физического движения определяется также абсолютно (cos ε = 0) в любом псевдодекартовом базисе, в том числе в через скалярное произведение:

(224А)