Дискретно-непрерывная математика (стр. 99 )

Гиперпсевдосфера Бельтрами получается вращением трактрисы с числом степеней свободы (n - 1). Главные радиусы её сферической кривизны:

(109 А)

Здесь - угол между нормальюк поверхности и

локальным радиусом вращения uR, согласно теореме Менье. Он же, согласно (26А), есть угол параллельности Лобачевского, но в геометрии Бельтрами. Меридианы и локальные параллели псевдосферы используются в качестве геодезических (нормальных) криволинейных координат в её внутренней геометрии. Гауссова кривизна псевдосферы выражается в виде:

Это, согласно теореме Бельтрами, определяет на поверхности гиперпсевдосферы гиперболическую метрику Ламберта, или метрику геометрии Лобачевского - Больяи.

С другой стороны, главные радиусы псевдокривизны гиперболоида I Минковского (гиперболической и сферической) постоянны по всей его поверхности:

R1 = - R - по меридианам (гиперболам),

R2 = + R - по локальным параллелям (ортогональным дугам).

Соответственно эти меридианы и локальные параллели могут использоваться в качестве геодезических (псевдоортогональных) криволинейных координат в его внутренней геометрии.

В геометрии Лобачевского - Больяи «R» есть некий вселенский параметр, или константа Гаусса—Швепкарта. Он характеризует степень искривления пространства Лобачевского - Больяи по отношению к плоскому евклидову пространству. Он же есть радиус гипотетической мнимой сферы Ламберта - Тауринуса, воплощённой впоследствии в гиперболоиде II Минковского. Обратим внимание на то, что гиперболоид II (верхний) повсюду вогнут и его радиус псевдокривизны постоянен во всех точках, как для сферы. А именно он равен «+ iR». Изначальная идея Ламберта и последующее её развитие Тауринусом исторически открывали наиболее простой и естественный путь к реализации полноценной гиперболической неевклидовой геометрии — таковой на сфере мнимого радиуса. Этот путь стал возможен к реализации в полном объёме после открытия Пуанкаре и Минковским псевдоевклидова пространства с целью его применения в теории относительности.

Зоммерфельд (1909 г.) впервые установил гиперболический харак­тер закона сложения скоростей в СТО, рассмотрев его действие как бы на сфере мнимого радиуса для случаев двух коллинеарных и двух ортогональных скоростей. Варичак (1910 г.) сделал предположение о тождественности закона сложения скоростей и правила сложения отрезков в геометрии Лобачевского - Больяи. Теоретическое обоснование этому дал Клейн, доказав изоморфизм группы Лоренца и группы однородного движения в пространстве Лобачевского — Больяи. Он же дал трактовку гиперболической геометрии в псевдоевклидовом пространстве Минковского - на гиперболоиде II.

Сценарий дальнейшего развития событий в данной области исследований был предопределён. Решающую роль в понимании того, что различные способы построения одной и той же неевклидовой геометрии приводят к тождественным конечным результатам сыграли классические проективные модели Клейна и Пуанкаре. Отсюда на первый план выходит выбор наиболее простого и наглядного способа аналитического изучения неевклидовых геометрий вообще.

В данной рабрте для изучения движений и деформаций в гиперболической и в сферической неевклидовых геометриях применяются относительно простые средства квадратичной тензорной тригонометрии. Тригонометрический подход к данной проблеме (в скалярной форме) был применён впервые именно в изначальных классических работах Пуанкаре и Минковского по СТО. Неевклидовы геометрии рассматриваются здесь внешним образом — с позиции тензорных тригонометрий объемлющих линейных метрических пространств <Рn+1> и <Qn+1>. При этом используются соответствую­щие линейные тригонометрические преобразования ротационного (синусно-косинусного) и деформационного (тангенсно-секансного) типа в элементарных формах.

Кроме того, такая внешняя точка зрения позволяет, в принципе, изучать движения в любых многомерных геометриях с постоянной кривизной (в гиперболических - с отрицательной и в сферических - с положительной) в наиболее общем виде. Такого рода геометрии присущи собственному гиперболоиду в <Рn+q> и собственному гиперсфероиду в <Qn+q> при q ≥ 1. Для них ротационные и деформационные тригонометрические преобразования применяются в самых общих формах, изложенных в основной части этой работы. В частности, каждому рефлектор-тензору объемлющего пространства отвечают собственные множества псевдоевклидовых и квазиевклидовых тригонометрических ротаций (рефлексий), а также их общее подмножество ортосферических ротаций (рефлексий).

Глава 7А. Тригонометрические модели неколлинеарных двух-, многоступенчатых и интегральных движений в СТО и в гиперболической геометрии

Продолжим изучение двух- и многоступенчатых гиперболических ротаций - движений, но уже не обязательно в пределах одной и той же псевдоплоскости. Как и ранее, для анализа многоступенчатых, но теперь элементарных ротаций применяется полярное разложение итогового преобразования типа (474), (475). Напомним, что в этом разложении одна и та же сферическая ротационная матрица всегда выражается в базисе своего действия. Согласно (497), она имеет общую структуру, отвечающую рефлектор-тензору псевдоевклидова пространства Минковского по следующей схеме:

(110А)

В свою очередь, гиперболическая ротационная матрица roth Г в базисе своего действия, как и в любом другом собственном универсальном базисе, имеет каноническую форму (363). Здесь фигурируют тензорные углы: Г - угол гиперболической ротации; 0 - угол ортосферической ротации (ортогональной по отношению к Г), согласно их определению в (349). Все они отвечают заданному рефлектор-тензору пространства. Вначале рассмотрим двухступенчатую элементарную гиперболи­ческую ротацию с целью наиболее общего - матричного вывода закона суммирования двух движений (скоростей) в скалярной, векторной и тензорной формах. Новый псевдодекартов базис представляется различными способами с учётом (486) и (491) в виде:

(111А)

Матрицы roth Г12 и roth Г13 выражены и действуют вМатрица roth Г21 исходно выражена и действует в Матрица

rot Θ13 в первом случае выражена и действует в гиперболически смещённом базисе Во втором случае она выражена

и действует в исходном базисеКак было показано ранее при многоступенчатых движениях в формулах активных преобразований координат базисов или элементов пространства применяется обратный порядок следования исходно заданных частных матриц. В свою очередь, при пассивном преобразовании координат элемента имеет место прямой порядок. Для его полярного представления имеем:

Итоговая гиперболическая ротация выполняется в двух указанных вариантах — либо из как roth Г13, либо из сферически смещённого базиса как

roth (112 А)

Вектор направляющих косинусов угласмещён сферически в

обратную сторону

(113А)

Согласно формулам полярного представления (474), (475) и с учётом (111 А) имеем:

(114А)

(115А)

В случае при перемене порядка последовательности движе-

ний или скоростей на противоположный новый псевдодекартов базис задают вектор-строки той же матрицы

(116А)

Матрицы roth Г23 ивыражены и действуют в

Матрица roth Г12 исходно выражена и действует в Итоговая гиперболическая ратация выполняется в двух вариантах — либо из как roth либо из сферически смещённого базиса

как roth Г13. В этом заключается двойственность

во взгляде на матрицу Для обратного порядка имеем: (117А)

(118А)