Дискретно-непрерывная математика (стр. 48 )

С учетом современных требований математический инструментарий представлен в сети также пакетом MATLAB ON LINE, позволяющим регистрировать аккаунты пользователей, вести математические исследования с использованием стилизованной версии компьютерного языка матричного исчисления MATLAB.

Некоторые итоги. Алгебраический критерий управляемости, в соответствии с теоремой Калмана, является показателем реализуемости любого спектра. Однако разные размещения собственных значений на комплексной плоскости по разному достижимы. Пороговые критерии управляемости и наблюдаемости можно дополнить более гибкими мерами модального доминирования.

Принцип двойственности Р. Калмана позволяет использовать полученные меры управляемости для анализа наблюдаемости и идентифицируемости. Анализ потенциальных свойств идентифицируемости систем важен постольку, поскольку раскрывает причины возможного расхождения, казалось бы, гарантированно сходящихся алгоритмов идентификации. Причина некорректного поведения алгоритмов может скрываться не в их ущербности, а в условиях их применения. Гарантии вычислительных методов не распространяются на вырожденные задачи идентификации.

Вырожденные задачи идентификации не являются в принципе нерешаемыми. При наличии дополнительной информации возможно оценивание, учитывающее опорную оценку параметров, и данные эксперимента, недостаточные для построения полной модели динамической системы. Объединение информации из двух источников позволяет создавать новые процедуры параметрического оценивания, применимые также и для обработки результатов, связанных с вычислением и последующим использованием ганкелевых функции.

Созданное алгоритмическое и программное обеспечение существенно облегчает проведение исследований, оно представлено сайтами научной и учебной направленности.

Практическая ценность рассмотренных результатов изложенной работы, помимо решенных примеров и задач, состоит в формировании математического обеспечения, в частности, студии Visual MatLab, соответствующих алгоритмов и программ, которые могут быть использованы в учебном и научном процессах.

Модуль 12

Введение в теорию точных матриц

В модулях 12 и 13 изложены основы тензорной тригонометрии, базирующейся на квадратичных метриках в многомерных арифметических пространствах. Результаты исследований по тензорной тригонометрии изложены в работе «Тензорная тригонометрия», которые взяты за основу при изложении материала в модулях 12 и 13.

В теоретическом плане тензорная тригонометрия естественным образом дополняет классические разделы аналитической геометрии и линейной алгебры. В прак­тическом плане она даёт инструментарий для решения разно­образных геометрических задач в многомерных аффинных, евклидовых и псевдоевклидовых пространствах. Движения, опре­деляемые тензорной тригонометрией, задают геометрию в малом для вложенных в них подпространств постоянной кривизны.

Кроме того, тензорная ротационная и деформационная тригоно­метрия в элементарной форме применена к изучению движений в неевклидовых геометриях - сферической и гиперболической, а также в теории относительности. В результате приводятся наиболее общие — матричные, векторные и скалярные представления этих движений в весьма наглядной тригонометрической форме.

Редко какой раздел математической науки так хорошо известен и понятен всем ещё со школьных времён как тригонометрия. Зародившись в глубокой древности, она практически завершила своё развитие и приобрела современную форму в конце XVIII века в трудах Леонарда Эйлера. Между тем геометрия от исторически изначальных евклидовых форм за прошедшие два века шагнула далеко вперёд. В том числе были открыты и изучены её разнообразные неевклидовы и многомерные тензорные формы.

В модулях 12 и 13 осуществленно построение общих тензорных форм тригонометрии в многомерных арифметических пространствах с квадратичной метрикой - как евклидовой, так и псевдоевклидовой. В частности, в этих формах классическая скалярная тригонометрия проявляется на собственных плоскостях или псевдоплоскостях тригонометрического подпространства тензорного угла.

Реализация намеченной цели потребовала от основательно разобраться в ряде смежных вопросов, относящихся к теории точных матриц - составной части линейной алгебры. С этой задачей он блестяще справился, в результате чего был получен ряд интересных результатов в теории линейной алгебры и геометрии.

С точки зрения тензорной тригонометрии некоторые довольно сложные и трудно воспринимаемые математические и физические теории видятся довольно прозрачно и естественным образом. Здесь это показано на примере тригонометрического моделирования движений в неевклидовых геометриях и в теории относительности.

Тензорная тригонометрия находится на стыке проблем, изучаемых многомерной аналитической геометрией и линейной алгеброй. Ввиду того что изложение новой теории потребовало применения дополнительных обозначений и терминологии, придал им наиболее удобную и логичную форму.

Рассматриваемые методы тензорной тригонометрии предназначены для применения в ряде областей математики, математической физики, в информационных технологиях, нанотехнологиях и др.

Прежде всего приведем используемые в модулях 12 и 13 обозначения.

Используемые обозначения

1. Обозначения матриц (матричный алфавит)

А — прямоугольная матрица или n×r-линеор,

{lig (t)A} - субматрица строк А порядка t,

{col (t)A} - субматрица столбцов А порядка t,

А+— (сферически ортогонально) квазиобратная матрица Мура -

Пенроуза,

В — квадратная матрица или внешняя мультипликация линеоров А1 и

А2,

В - — аффинно (гиперболически ортогонально) квазиобратная матрица,

- i-я собственная матрица для В,

Вр - нуль-простая матрица,

- аффинный проектор на <im B> параллельно <ker B> или

гиперболически ортогональный проектор на <im B>,

- аффинный проектор на <ker B> параллельно <im B> или

гиперболически ортогональный проектор на <ker B>,

Вm и Вn - (адекватно и эрмитово)нуль-нормалъные матрицы,

- сферически ортогональный проектор на <im B>, - сферически ортогональный проектор на <ker B>,

{D-minor (t)B) - диагональный минор В порядка t,

{Dh-minor (t)B} - гиподиагональный минор В порядка t,

С - внутренняя мультипликация линеоров А1 и А2 или свободный

матричный множитель, в том числе клеточный,

С μ - матрица клеточной формы,

D - диагональная матрица,

D{P} —диагональная форма простой матрицы Р,

Е — матрица единичного полирёберного угла,

- матрица единичного базиса,

F - матрица-функция,

G - метрический тензор,

- метрические тензоры риманова и псевдориманова прос­-

транства,

Н — (эрмитово симметричная) эрмитова комплексная матрица,

I - единичная матрица,

- фундаментальный рефлектор-тензор квази - или

псевдоевклидова пространства, ориентированного и нет,

J - матрица жордановой формы,

К — матричный характеристический коэффициент для сингулярной

матрицы В порядка t либо 1-го рода K,(B, t), либо 2-го рода K2(B, t),

КB(ε) - матричный характеристический многочлен от параметра ε для

матрицы В,

L - треугольная матрица, Lε - матрица клеточной треугольной формы,

М - (адекватно) нормальная вещественная или комплексная матрица,

N - (эрмитово) нормальная комплексная матрица,

О - нильпотентная матрица,

Р - простая матрица,

Q — редуцированный матричный характеристический коэффициент

для сингулярной матрицы В порядка t либо 1-го рода Q,(B, t), либо

2-го рода Q2(E, t),

QВ(ε) - редуцированный матричный характеристический многочлен

от параметра ε матрицы В,

R - (адекватно) ортогональная вещественная или комплексная матрица, Rq - квазиортогональная матрица,

S - симметричная матрица,

S - положительно определённая симметричная матрица,

Т — матрица ротационного тригонометрического преобразования,

U — (эрмитово ортогональная) унитарная комплексная матрица,

V — матрица общего линейного преобразования (активного и пассив­ного),

W - моно-бинарная клеточная форма простой матрицы,

X и Y - матрица-аргумент,

Z — нулевая матрица.

2. Обозначение тензорных углов и их функций

- основной сферический угол, проективный и

моторный,

Rot Ф (rot Ф) - матрица ротации на угол Ф, в том числе элементарной. Def Ф (def Ф) - матрица деформации на угол Ф,

— дополнительный к Ф (до прямого угла π/2) сфериче­

ский угол (все три угла отвечают рефлектор-тензору),

- основной гиперболический угол, проективный и

моторный,

Roth Г (roth Г) — матрица ротации на угол Г, в том числе

элементарной,

Defh Г (defh Г) - матрица деформации на угол Г,

Λ - дополнительный к Г (до бесконечного прямого угла ∆) гиперболи­

ческий угол (все три угла отвечают рефлектор-тензору),

Θ — ортосферический угол ортогональной ротации по отношению к Ф

или Г,

- комплексные сферические углы, проектив­

ный и моторный,

- эрмитов сферический угол, проективный и