Дискретно-непрерывная математика (стр. 85 )

(496)

С использованием сферическо-гиперболической аналогии абстракт­ного типа (323) осуществляется формальный переход от моделей движения в гиперболической геометрии к моделям движения в сферической геометрии. Ранее такой же подход, но в обратную сторону применялся при выводе структур матриц гиперболических ротаций (363), (364) из уже доказанных структур матриц сферических ротаций (313). (314) с реперной осью.

Изоморфизм ротаций в объемлющем централизованном <квази-евклидовом, псевдоевклидовом> пространстве и геометрических движений на вложенной в него (сферической, псевдосферической) гиперповерхности связывает также изоморфно внешнюю ротационную тригонометрию объемлющего пространства и внутреннюю геометрию гиперповерхности с данным инвариантом. В частности, ротационные тригонометрии в квазиевклидовом пространстве с реперной осью и в пространстве Минковского размерности (n +1) изоморфны геометриям на n-мерной сфере и n-мерных гиперболоидах Минковского I и II (в сопутствующих n-мерных гиперболических неевклидовых прос­транствах) с учётом их инварианта — радиуса R.

13.36. Ротации и деформации в псевдоевклидовом пространстве Минковского

Далее на примере простейших псевдоевклидовых пространств Минковского <Рn+1>, где n ≤ 3, покажем: как работает формула (474) для классификации псевдоевклидовых ротаций, или непрерывных однородных движений Лоренца. Конечно, данная формула применима для этого и в более сложных случаях.

При n = 1 возможна только элементарная гиперболическая ротация, автоматически согласованная с рефлектор-тензором. Эта ротация реализуется геометрически как движение по гиперболе.

При n = 2 возможны элементарная сферическая ротация (в пределах множества централизованных плоскостей в трёхмерной внешней полости изотропного конуса) и элементарная гиперболическая ротация (в пределах множества централизованных псевдоплоскостей с осью в трехмерной внутренней полости изотропного конуса). Эти ротации реализуются как движения по сферическим и гиперболическим траекториям на двумерных гиперболоидах Минковского I и II.

При n = 3 возможны элементарная сферическая ротация (в пределах множества централизованных плоскостей в четырёхмерной внешней полости изотропного конуса) и элементарная гиперболическая ротация (в пределах множества централизованных псевдоплоскостей с осью в четырёхмерной внутренней полости изотропного конуса). Эти ротации реализуются как движения по сферическим и гиперболическим траекториям на трёхмерных гиперболоидах Минковского I и II.

Итак, при n ≤ 3 и q = 1 любые тригонометрические ротации Лоренца, согласно (474), сводятся к однократной элементарной ортосферической ротации rot Θ и затем однократной элементарной гиперболической ротации roth Г, согласованным с рефлектор-тензором псевдоевклидова пространства Минковского. Сферическая ротация элементарна, в силу того что n ≤ 3 в структуре (473). Гиперболическая ротация элементарна в любом пространстве Минковского.

В данном случае между rot Θ и roth Г имеется принципиальное отличие, заключающееся в формах их представлений. Гиперболическая ротация имеет реперную ось для отсчёта угла γ. Её структура (363), (364) и псевдоплоскость ротации γ определяются вектором направляющих косинусов (выраженных в декартовой части базиса). Форма представления rot Θ определяется только её общей структурой (473). Например, в <Р2+1> её 2×2-блок есть элементарная сферическая ротационная клетка. Однако в <Р 3+1> её 3×3-блок rot Θ3×3 целе­сообразно представить как сферическую ротацию с фиксированной нормальной осью rN. Тогда структура и плоскость ротации θ определяются вектором направляющих косинусов нормальной оси ротации (выраженных в декартовой части базиса):

(497) Пусть cos σk и cos- направляющие косинусы углов

из (474), (475) в структуре (363); - единичные векторы направляющих косинусов в структуре (364). Применив ротационную формулу (476), последовательно получаем:

(498)

В <Р3+1> единичные векторы в силу (498) однозначно задают

вектор нормальной оси ротации rot Θ через их векторное (синусное) произведение:

(499)

Векторы образуют правую тройку, что соответствует

принятому в работе направлению отсчёта угла θ против часовой стрелки: ориентированный вектор rN задаёт правый винт ротации;

Наряду с чисто гиперболическими и сферическими ротациями в псевдоевклидовом пространстве Минковского представляют особый интерес, а именно в универсальном базисе, допустимые элементарные гиперболические деформации. В тригонометрической форме они представлены в (496). В базисе своего действия они имеют структуру типа (365) и совершаются в псевдоплоскости, соответствующей углу Г. Направляющие косинусы для матриц roth Г и defh Г тождественны. В базисе диагонального косинуса эти матрицы и рефлектор-тензор имеют общую бинарно-клеточную структуру:

Из прародительской структуры, аналогично (471), порождается чистый тип гиперболической деформационной матрицы:

(500) Деформационные преобразования, конечно, не относятся к группе Лоренца, так как не удовлетворяют условию (460). Хотя при этом соотношения (500) по форме и совпадают с (470). Но согласования матриц rot Θ и defh Г с рефлектор-тензором осуществляются различно. А именно, первые согласуются по его единичному блоку, а вторые согласуются по какой-либо его знакопеременной 2×2-клетке. Иначе говоря, первые действуют в плоскостях, а вторые - в псевдо­плоскостях. Хотя матрицы deflh Г не удовлетворяют псевдоевклидову метрическому соотношению (460), но они же в универсальном базисе формально удовлетворяют евклидову метрическому соотношению, что следует из (500). Поэтому для этих матриц в псевдоплоскости деформации действует перекрестный евклидов инвариант. Согласно сферическо-гиперболической аналогии конкретного, синус-тангенсного типа в имеем:

Ввиду того что все матрицы действуют в одной и той же псевдоплоско­сти, то и согласуются с рефлектор-тензором сходным образом:

Важно отметить, что все эти четыре соотношения в универсальном базисе имеют место как в гиперболической, так и в сферической геометриях. Поэтому они представлены здесь в самом общем виде — через углы ротации Г и Ф с рефлектор-тензором Основное

различие между ними заключается в том, что в гиперболической геометрии в допустимом псевдодекартовом базисе в <Рn+1> действует только определяющее движения соотношение roth с другой стороны, в сферической геометрии в допустимом квазидекартовом базисе в <Qn+1> действует только определяющее движения соотношениеВо внешних вариантах

они реализуются на собственных гиперболоидах Минковского I и II в псевдоевклидовом пространстве <Рn+1> (первое) и на собственном гиперсфероиде в квазиевклидовом пространстве <Qn+1> (второе).

Основные свойства деформационных матриц и преобразований сходны с таковыми для ротационных. Но для них Правило №2, в части алгебраического суммирования тригонометрически согласованных углов-аргументов, не выполняется. (Хотя коммутативность матриц с согласованными углами сохраняется.) Деформационные матрицы целесообразно применять в <Рn+1>, например, при перекрестном (недекартовом) проецировании, то есть при определении перекрёстных координат или перекрёстных проекций. Такое проецирование в <Р3+1> формально математически интерпретирует лоренцево сокращение пространственных образов линейных объектов в направлении их физического движения. Согласно исконной блочной структуре (442), для деформационных матриц имеют место соотношения - аналоги (482).

13.37. Специальный математический принцип относительности

Все утверждения, относящиеся к <евклидовой, квазиевклидовой, псевдоевклидовой) геометрии за вычетом её аффинной части, имеют место именно в <декартовом, квазидекартовом, псевдодекартовом> базисе <евклидова, квазиевклидова, псевдоевклидова> пространства. Любая геометрия с квадратичным инвариантом (или квадратичная геометрия) как свод утверждений по их форме никак не связана с выбором конкретного допустимого базиса за исходный единичный базис. Иначе говоря, <евклидова, квазиевклидова, псевдоевклидова> геометрия инвариантна по отношению к преобразованиям, осу­ществляющим переход от одного вышеуказанного базиса к другому, то есть она инвариантна к <ортогональным, квазиортогональным, псевдоортогональным> преобразованиям и к операции параллельного переноса в пространстве. (Ориентация в указанных пространствах сохраняется именно при непрерывных преобразованиях.)