Дискретно-непрерывная математика (стр. 61 )

Микромодуль 35.

Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия

13.1. Объекты тензорной тригонометрии и их пространственные взаимоотношения

Согласно аксиоме о континууме Кантора - Дедекинда, аффинные геометрическое и арифметическое пространства одной и той же размерности находятся в отношении изоморфизма, что распрос­траняется и на их метрические формы. Это является основанием для геометрической трактовки результатов, получаемых алгебраическим путём. Исходные элементы n-мерного аффинного пространства, по известному определению Вейля, есть точки и свободные векторы. Их координаты задаются в каком-либо базисе в виде наборов n чисел. Точки и векторы образуют геометрические объекты. Последние подразделяются на централизованные и нецентрализован­ные. Централизованные объекты имеют точку приложения в центре координат. Сопоставим в алгебраической и геометрической форме простейшие линейные объекты аффинного пространства:

вектор а — отрезок прямой,

образ <im а> — прямая,

ядро <ker a'> — гиперплоскость,

n×r-линеор A (rang А = r) — r-симплекс,

образ <im A> — планар ранга r,

ядро <ker А'> — планар ранга (n - r).

Указанные объекты изучаемой тензорной тригонометрии имеют валентность 1. Валентность функций объектов может отличаться. На­пример, для внутренней и внешней мультипликации пары векторов соответствующие валентности равны 0 и 2:

(151), (152)

Аффинные отношения планаров, включая параллельность, выража­ются в виде:

(153)

(154) (155)

(156)

С другой стороны, в евклидовом пространстве отношения (155)

и (156) определяют взаимную ортогональность соответствующих планаров (отдельно образов и ядер А1, А2). Если линейные под­пространства задаются нуль-простыми матрицами, то можно также использовать характеристические аффинные проекторы. Например,

(157) (158)

(В формулах с обнулением вместо проекторов могут использоваться матричные характеристические коэффициенты.) Дальнейшее естест­венное развитие отношений типа (155), (156) состоит в нижеследую­щих формулировках (159) и (160). В первом случае имеем:

(159)

так как ядро матрицыесть ортогональное дополнение

к прямой сумме образов размерности Во втором случае — в иной трактовке этой матрицы (а именно через дополнительные ортопроекторы) ядро есть пересечение

ядер А1' и А2' размерности

(160)

так как ядро той же матрицы имеет размерность Соотношения ( 159) и (160) совместны тогда и только тогда, когда

При этом вышеуказанная матрица в круглых скобках - несингулярная. Аналогичным образом имеем:

(161)

(162)

13.2. Проективные тензорные синус, косинус и сферически ортогональные рефлекторы

Матричная характеристика

(163)

определяется как проективный тензорный синус угла Ф12 между планарамиили линеорами А1 и А2. Проективный

характер угла и соответственно функции отмечается специальным знаком тильды сверху:

(164)

Согласно (163), угол между <im A1> и <im A2> аддитивно проти­воположен углу между Вместе они образуют единую бинарную структуру угла Ф12. Например, тензорный синус для пары векторов или прямых выражается как

(165)

В частности, на евклидовой плоскости он имеет структуру:

где φ12 отсчитывается против часовой стрелки (для правой системы декартовых координат), - ортогональная модальная

матрица.

Условиетождественно отношению параллель-

ности (153), в том числе для нецентрализованных планаров:

Отношения типа (154) также имеют тождественные тригонометричес­кие аналоги:

(166) (167)

Действительно,

(168)

Далее, например,

В частном случае (166) тензорный синус есть симметричный проектор (собственные значения 0 и +1); в случае (167) он же - антипроектор (собственные значения 0 и -1).

В свою очередь, эквиранговые планары могут также задаваться сингулярной квадратной матрицей. При этом тензорный угол между <im B> и dm B'> аддитивно противоположен углу между <ker B'> и <ker B>. Вместе они образуют единую бинарную структуру проектив­ного тензорного угла Аналогично (163) и (164) имеем:

(169) (170)

Это условие тригонометрически определяет нуль-нормальные матрицы, которые были введены ранее.

Аналогично, тригонометрические отношения между образом и ядром матрицы характеризует проективный тензорный косинус того же угла:

(171) (172)

В частности, для пары векторов и прямых на евклидовой плоскости

Тригонометрические аналоги условий (155), (156) вытекают из формулы

(173) Схема вывода аналогична (168).

(174)

(175)

Тензорные тригонометрические функции проективного угла в мет­рической форме характеризуют пространственные угловые отноше­ния между линеорами или между планарами. В тензорном варианте косинус и синус основного и дополнительного (до согласованного с ним прямого угла) также равны между собой:

В аффинном пространстве угол не имеет количественного смысла за исключением, когда он нулевой или открытый. В евклидовом прос­транстве прямые тензорные углы образуются, например, парами планаров

(176) (177) (178) (179)

С одной стороны, это - синусы вышеуказанных прямых углов; с дру­гой стороны, это - косинусы нулевых тензорных углов, соответствую­щих планарам Характеристические симметричные квадратные корни (176)—(179) типа опре­деляются как сферически ортогональные рефлекторы. В общем случае они обозначаются как Ref Вm, где Вm есть нуль-нормальная матрица.