Дискретно-непрерывная математика (стр. 74 )

(394)

Первое из них есть частный случай (68). Подставив в формулу(393) матрицы в виде прямых спектров и используя (394) по клеткам, получаем собственные косинусные неравенства и затем генеральное косинусное неравенство для пары эквиранговых линеоров А1 и А2:

(395)

(396)

где φі — собственные скалярные углы между планарами первого ранга

Здесь в крайних случаях:

- для параллельных линеоров,

- для ортогональных, в том числе частично, линеоров.

Соответствующие косинусные неравенства в знаковой форме:

(397)

(398)

Заметим, что в (384) и (396) знаменатели тождественны (где В = А1А2'). Это соответствует той же формуле (132). При r1≠r2 косинусное отношение формально нулевое.

13.22. Спектрально-клеточное представление тензорных тригонометрических функций

Теперь можно взглянуть более детально на структуру проективного косинуса и синуса на уровне тригонометрической 2×2-клетки. Как было показано ранее, собственные тригонометрические плоскости, относящиеся к 2×2-клеткам, для тензорных углов проективного и моторного типа тождественны. Поэтому на основании левой части (301) и спектра (389) имеем.

В свою очередь, 2×2-клетку проектораранга 1 можно пред-

ставить как внешнюю мультипликацию единичного 2×1-вектора еi, задающего i-ю базисную линию планара <im A> на i-й собственной тригонометрической плоскости бинарного тензорного угла:

Соответственно две стороны тензорного угла, образуемого планарами <im A1> и <im А2) ранга r, на уровне 2×2-клетки можно представить в виде двух собственных единичных векторов или прямых, которые преобразуются друг в друга посредством ротационного или реф­лективного преобразования, согласно (301). Выразим декартовы координаты указанных единичных векторов для обоих планаров на i-й тригонометрической плоскости через прилежащие углы:

Тогда при ротационном преобразовании планаров имеем:

(Если представить 1-й вектор в форме суммы его двух ортопроекций, то видно, что каждая из проекций поворачивается на тот же угол, что и вектор ) Согласно (171), косинус для 2×2-клетки имеет вид-

После тригонометрических преобразований получаем

Согласно (163), синус для 2×2-клетки имеет вид

После тригонометрических преобразований получаем

Условиеили в тензорной форме

отвечает базису диагонального косинуса, или тригонометрическому базису. При том же условии все проективные тригонометрические функции и углы, а также все рефлекторы имеют ранее установленные канонические формы. Зеркало срединного рефлектора есть срединное подпространство тензорного угла, что наглядно видно на уровне рассмотренной 2×2-клетки. Аналогично представляются проективные секанс и тангенс.

13.23. Генеральное синусное неравенство

Генеральное косинусное неравенство (396) для пары эквиранговых линеоров А1 и А2 служит далее определению косинусных тригоно­метрических норм. При r = 1 оно есть геометрическое неравенство Коши в модуульной форме для парной совокупности чисел. Последнее используется в аналитической геометрии с целью нормирования косинуса угла между двумя векторами в интервале . В знаковой форме типа (141) неравенство Коши определяет косинусную меру угла между двумя направленными векторами в интервале . Оно является частным случаем генерального косинусного неравенства (398). Изначально неравенство Коши имело чисто алгебраический характер. Но тот же характер можно придать и вышеуказанным генеральным неравенствам (384). (386) и (396), (398), если их отнести непосред­ственно к скалярным элементам матриц. Генеральные косинусные неравенства суть прямые произведения собственных неравенств Коши, согласно тригонометрическим спектрам. В соответствии с (229), (230) для пары эквиранговых n×r-линеоров имеет место критерий внутренней мультипликации для констатации их хотя бы частичной ортогональности:

(401)

С другой стороны, для определения тригонометрических норм синусного характера может применяться синусное отношение (135). Оно невырождено для пары полно линейно независимых линеоров. В соответствии с (227), (228) для пары -линеоров имеет

место критерий внутренней мультипликации для констатации их хотя бы частичной параллельности, или частичной линейной зависимости (аналог определителя Грама для набора векторов):

(402)

Тот же самый критерий можно применять к планарам < im А1 > и < im A2> для констатации их хотя бы частичной параллельности. Синусное отношение (135) невырождено только для полно линейно независимых линеоров. Оно представляется аналогично косинусному в форме прямого произведения собственных синусных отношений (124), согласно соответствующему тригонометрическому спектру. Матрица-суперпозиция линеоров (А1|А2), когда последние полно линейно независимы, имеет ранг (r1 + r2). Её внешняя гомомультипликация есть симметричная положительно (полу)определённая n×n-матрица

С учётом (120) и (402) имеем:

(403)

Согласно (135), получаем:

(404)

С другой стороны, согласно (62), (159) и (163), для пары полно линейно независимых линеоров имеем:

(405)

Тригонометрический спектр высшего матричного коэффициента 2-го рода (в числителе дроби) выражается ниже как в алгебраической сумме, так и в прямой сумме с использованием принципа бинарности (где ν' = 0).

(406)

Здесь проекторпроецирует ортогонально на дефектное

подпространство пересечений:

Поясним некоторые выражения в формуле (407):

- 2×2-матрица ранга 2 (несингулярная), соответ­ствующая 1-ой тригонометрической клетке; для неё высший матрич­ный коэффициент 2-го рода определяется, согласно (29), а высший скалярный коэффициент совпадает с детерминантом;

- несингулярные матрицы,

соответствующие в спектре подпространствами

для них высшие коэффициенты определяются аналогично;

Ортопроектор на образ гомомультипликации В1,2 в прямой сумме имеет вид:

(408)

Далее принято, что r2 ≥ r1, как указано на рис. 2. Отметим, что для полно линейно независимых линеоров Для i-й

тригонометрической клетки, согласно (124), имеем:

(409)

где φi - угол между планарами первого ранга и

как и в косинусном варианте (395).

Для установления генерального синусного неравенства остаётся, как и ранее, вычислить высший скалярный коэффициент. Он находится с учётом (407) и (409) в форме прямого произведения по тригонометрическим подпространствам.