Дискретно-непрерывная математика (стр. 19 )

(182)

при всех значениях переменных х1, х2, ..., хп. В силу же дополнительного усло­вия 5 эта форма будет положительно определенной, т. е. знак = в (182) будет иметь место только при равенстве нулю всех xt (i = 1, 2, ..., п).

Определение 2. Систему векторов будем называть ортонормированной, если

(183)

При т=п, где п — число измерений пространства, получаем ортонормированный базис пространства.

В п.11.22 будет доказано, что в каждом п-мерном унитарном пространстве существует ортонормированный базис.

Пусть хі и уі (i = 1, 2, ..., п) — соответственно координаты векторов х и у в ортонормированном базисе. Тогда в силу (178), (179) и (183)

(184)

Фиксируем произвольно некоторый базис в п-мерном пространстве R. При этом базисе каждая метризация пространства связана с некоторой положительно определенной эрмитовой формой и наоборот, согласно (178) каждая такая форма определяет некоторую

положительно определенную эрмитову метрику в R. Однако все эти метрики не дают суще­ственно различных унитарных п-мерных пространств. Действительно, возьмем две такие метрики со скалярным произведением соответственно (ху) и (ху)'. По отношению к этим метрикам определим ортонормированные базисы в Отнесем друг другу векторы х и х' из R (х→х'), имеющие в этих базисах одинаковые координаты. Это соответствие является аффинным (то есть оператор А, относящий вектору х из А вектор х' из R, является линейным и неособенным). Кроме того, в силу (184)

Таким образом, с точностью до аффинного преобразования пространства все положи­тельно определенные эрмитовы метризации п-мерного векторного пространства совпадают друг с другом.

Если основным числовым полем К является поле вещественных чисел, то метрика, удовлетворяющая постулатам 1, 2, 3, 4 и 5, называется евклидовой.

Определение 3. Векторное пространство R над полем веществен­ных чисел с положительно евклидовой метрикой называется евклидовым про­странством.

Если суть координаты векторов х и у в некотором базисе п-мерного евклидова пространства, то

Здесь — вещественные числа

( )

Выражение называется квадратичной формой относительно Из положительной определенности метрики вытекает, что квадратичная форма задающая аналитически эту метрику, является положительно определенной, т. е. если

При ортонормированном базисе

(185)

При п = 3 получаем известные формулы для скалярного произведения двух векторов и для квадрата длины вектора в трехмерном евклидовом про­странстве.

11.18. Критерий Грама линейной зависимости векторов

Пусть векторы х1, х2, …, хт унитарного или евклидова пространства R линейно зависимы, т. е. существуют такие не равные одновременно нулю числа с1, с2, ..., ст, что

(186)

(В случае евклидова пространства с1, с2, ..., ст — вещественные числа. Умножив последовательно обе части этого равенства слева скалярно на х1, х2, …, хт, получим:

(187)

Рассматриваякак ненулевое решение системы линейных однородных уравнений (187) с определителем

(188)

заключаем, что этот определитель равен нулю:

Определитель называется определителем Грама, составленным для векторов х1, х2, …, хт.

Пусть, обратно, определитель Грама (188) равен нулю. Тогда система урав­нений (187) имеет ненулевое решение Равенства (187) можно за­писать так:

(189)

Умножая почленно эти равенства соответственно на с1, с2, ..., ст и скла­дывая, получим:

отсюда в силу положительной определенности метрики

т. е. векторы х1, х2, …, хт линейно зависимы.

Нами доказана

Теорема 1. Для того чтобы векторы х1, х2, …, хт были линейно не­зависимы, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама, составленный из этих векторов, не был равен нулю.

Отметим следующее свойство определителя Грама.

Если какой-либо главный минор определителя Грама равен нулю, то равен нулю и сам определитель Грама.

Действительно, главный минор является определителем Грама для части векторов. Из равенства нулю этого главного минора следует линейная зависи­мость между этими векторами, а значит, и между векторами полной системы.

Пример. Даны п комплексных функций вещественного аргумента t, кусочно непрерывных в замкнутом интервале . Требуется определить, при каком условии они будут линейно зависимы.

Для этого мы в пространстве кусочно непрерывных в функций введем положительноопределенную метрику, полагая

Тогда критерий Грама (теорема 1) в применении к данным функциям даст искомое условие

11.19. Ортогональное проектирование

Пусть в унитарном или в евклидовом пространстве R даны произвольный вектор х и некоторое т-мерное подпространство S с базисом x1, x2, ...,xm. Мы покажем, что вектор х можно (и притом единственным способом) представить в виде суммы

где (190)

(знаком ┴ мы обозначаем ортогональность векторов; под ортогональностью к подпространству понимаем ортогональность ко всем векторам из этого подпространства); xS — ортогональная проекция век­тора х на подпространство — проектирующий вектор (в данном случае xS — проекция вектора х на подпространство S параллельно под­пространству Т, состоящему из всех векторов из R, ортогональных к S).

Пример. R — трехмерное евклидово векторное пространство, а т = 2. Все векторы будем строить из фиксированной точки О. Тогда S — плоскость, проходящая через О; xS — ортогональная проекция вектора х на плоскость S; — перпендикуляр, опущенный из

конца вектора х на плоскость S (рис. 2); h= | | — расстояние конца вектора х от плоскости S.

Pис. 2.

Для установления разложения (190) искомое xS представим в виде

(191)