Дискретно-непрерывная математика (стр. 49 )

моторный.

3. Обозначения пространств

- арифметическое (аффинное) пространство размерности n, — евклидово пространство размерности n,

— комплексное бинарное евклидово (псевдоевклидово)

пространство индекса q и размерности (n + q),

— подпространства пересечений собственных пространств,

- вещественное псевдоевклидово пространство индекса q и

размерности (n + q ),

- вещественное квазиевклидово пространство индекса q и

размерности (n + q).

4. Прочие обозначения

Cnt — биноминальные коэффициенты Ньютона,

- норма Фробениуса матрицы А,

- определённая геометрическая норма матрицы или линеора А

порядка t и степени h,

— полуопределённая геометрическая норма квадратной

матри­цы В порядка t и степени h,

det В - детерминант (определитель) матрицы В,

dim... - размерность пространства...,

— дианаль квадратной матрицы В, численно равная сумме

детерминантов всех её базисных диагональных миноров,

<im В> — образ матрицы В, <im A> - образ матрицы А,

<ker В> - ядро матрицы В, <kerA> - ядро матрицы А,

k (B, t) - скалярный характеристический коэффициент для сингулярной

матрицы В порядка t,

kB (ε) - скалярный характеристический многочлен от параметра ε для

матрицы В,

- евклидова и псевдоевклидова протяжённость,

— средние алгебраические и средние степенные порядка t и θ,

— минорант матрицы А, численно равный квадратному

корню из суммы квадратов детерминантов всех её базисных

миноров,

n - размерноcть аффинного или евклидова пространств,

- редуцированный скалярный характеристический коэффици­

ент для сингулярной матрицы В порядка t,

- редуцированный скалярный характеристический многочлен от

параметра ε для матрицы В,

r = rang В или rang A - ранг матрицы,

r' — 1-й рок сингулярной матрицы В, то есть максимальный порядок

ненулевого коэффициента k (B, t),

r" - 2-й рок сингулярной матрицы В, то есть максимальный порядок

ненулевых коэффициентов K1,2 (B, t),

- геометрическая, алгеб­

раическая и аннулирующая кратность собственного значения μі,

t (или θ) - порядок характеристик (либо размер выборки из совокуп­ости

чисел, либо размер миноров матрицы),

tr В — след В,

— реверсивные средние алгебраические и средние степенные

порядка t и θ.

γ - скалярный основной гиперболический угол.

ε - скалярный сферический эрмитов угол,

θ — скалярный угол ортосферической ротации, ортогональной по от­

ношению к φ или γ,

λ - дополнительный к γ (до бесконечного прямого угла δ) гиперболи­

ческий угол,

μі - i-e собственное значение матрицы В,

v' - размерность пространства пересечения im А1 и im А2,

v" — размерность пространства пересечения im А1 и ker А'2 (или

im А2 и ker А'1),

ξ — дополнительный к φ (до прямого угла π/2) сферический угол,

π — открытый сферический угол,

σi - i-e собственное значение матрицы АА' или А'А,

φ — скалярный основной сферический угол,

ω = Arsh 1 - особый гиперболический угол, отвечающий фокусу

гиперболы.

5. Используемые символы

' - знак простого транспонирования,

* - знак эрмитового транспонирования,

- множество… принадлежит множеству...,

—множество... принадлежит или тождественно множеству...,

— элемент... принадлежит множеству...,

-элемент... не принадлежит множеству...,

- знак объединения множеств,

∩ - знак пересечения множеств,

≡ — знак тождества множеств,

- знак прямого суммирования,

— знак сферически ортогональной прямой суммы,

- знак гиперболически ортогональной прямой суммы,

~ - обозначение для тензорных углов (сверху) проективного типа,

< - обозначение для тензорных углов (сверху) в случае многоступен­-

чатых ротаций с обратным порядком частных движений.

В теории матриц такие классические понятия, как сингулярная матрица и её ранг, собственные подпространства, аннулирующие многочлены, проекторы и т. д., имеют смысл лишь для точных матриц и при точных вычислениях. Различают точную теорию понятий и аппромаксимационную теорию оценок понятий. Каждая из них играет свою роль. Очевидно, что понятия, связанные с точными числовыми характеристиками, относятся к точной теории. Эта теория используется не только для построения и анализа абстракций, но она важна и для анализа объектов прикладных задач. Ведь числовые характеристики объектов всегда точны, а приближённы лишь их разно­образные оценки.

В модуле 12 содержатся результаты исследований по теории точных матриц, а модуле 13 развитая на этой платформе тензорная тригонометрия. Последняя, сама по себе, является составной частью соответствующей геометрии с квадратичным метрическим инвариантом в многомерном арифметическом пространстве.

Исторические корни классической скалярной тригонометрии, как составной части двумерной геометрии, уходят в далёкое прошлое. Некоторые тригонометрические формулировки содержались ещё в «Началах Евклида». Следует отметить, что сферическая тригонометрия стала математически развиваться раньше тригонометрии на плоскости. Это было обусловлено потребностью в ней со стороны практической астрономии. Сферические функции встречались уже в IX —X веках у арабских математиков. В европейскую науку тригонометрию ввёл в начале XTY века Р. Уоллингфорд, применив её, в частности, к решению прямоугольного треугольника. Гиперболические функции открыл А. Муавр, а реально их начали применять в геометрических иссле­дованиях И. Ламберт и Ф. Тауринус. Современный завершённый вид скалярная тригонометрия получила в трудах Л. Эйлера, который также осуществил её комплексификацию. С другой стороны, геометрия вообще продолжала развиваться далее и особенно бурно в связи с появившейся идеей многомерного геометрического пространства.

Многомерная геометрия в истории развития математики возникла впервые, по-видимому, в середине XIX века в классическом труде Г. Грассмана "'Учение о линейном протяжении" (1844г.). Им же и независимо от него У. Гамильтоном были заложены основы векторного анализа в многомерных арифметических пространствах. Выдающийся вклад в обоснование алгебраического подхода к геометрии объектов арифметического пространства внесла знаменитая аксиома Кантора-Дедекинда о континууме.

Возникновение примерно в то же время и последующее развитие линейной алгебры в трудах Фробениуса, Крамера, Кронекера, Капелли, Сильвестра, Жордана, Эрмита, Вейля и других математиков приводило со временем к всё большему её наполнению геометрическим содер­жанием. Она нашла эффективное применение в теории векторных евклидовых, а после известных работ А. Пуанкаре и Г. Минковского и псевдоевклидовых пространств. Этому способствовало алгебраическое определение понятий, связанных с метрическими свойствами арифметических пространств (длин векторов и значений углов между ними). Как известно, базисными для определения мер и норм евклидова пространства явились косинусное неравенство Коши и синусное неравенство Адамара. Мур и Р. Пенроуз предложили общие методы квазиобращения матриц. дал предельный метод нормального решения систем линейных уравнений. Результаты этих исследований имели также большое геометрическое значение и явились отправной точкой данной работы.

Главная цель изложения заключается в формулировке и применении тригонометрических понятий многомерной геометрии. В качестве основной теоретической платформы используется и развива­ется далее теория точных матриц. При этом показаны дополнительные возможности в использовании получаемых результатов.

Найдена структура матричных характеристических коэффициентов 1-го и 2-го рода, широко фигурирующих в теории точных матриц с середины XX века (и возникшие в работах Ж.-М. Сурьё и ), - в дополнение к известной со времён У. Леверье структуре скалярных характеристических коэффициентов. Идентифицирован минимальный аннулирующий многочлен матрицы исходя из полученного в работе фундаментального соотношения для её основных параметров сингулярности. Установлен тригонометрический спектр нуль-простой матрицы, на основе которого получены генераль­ные нормирующие косинусное и синусное неравенства.