Дискретно-непрерывная математика (стр. 89 )

Тензорные тригонометрические модели преобразований в <Р3+1>, изложенные частично ранее, позволяют придать чисто тригонометрическую четырёхмерную тензорную форму кинематике СТО. Исходные постулаты и следствия из них, фигурирующие в физической трактовке СТО, имеют изоморфные тригонометрические прототипы (физико-математический изоморфизм).

Однородным непрерывным преобразованиям Лоренца соответ­ствуют псевдоевклидовы тригонометрические ротации. Эйнштейнову замедлению времени соответствуют тригонометрические гиперболи­ческие ротации с псевдоевклидовым инвариантом: где ch γ > 1. Лоренцеву сокращению протяжённости соответствуют тригонометрические гиперболические деформации с перекрёстным квазиевклидовым инвариантом:где sch γ < 1. При

рассмотрении этих двух явлении на псевдоплоскости, соответствую­щей углу Г, в обоих случаях формально осуществляется решение гиперболически прямоугольного треугольника. Специальному физическому принципу относительности Пуанкаре соответствует специальный математический принцип относительности приме­нительно к <Р3+1>. Закон Пуанкаре - Эйнштейна о взаимозависимости пространства и времени и об их относительности объясняется тем, что одноиндексные евклидово подпространство и релятивистская стрела времени всегда являются гиперболически ортогональными дополнениями друг к другу, изменяясь только вместе при гиперболических ротациях:

(13А)

Это пространство-время есть единый четырёхмерный геометрический континуум.

Постулат Эйнштейна о максимуме и постоянстве скорости света в любых галилеевски инерциальных системах отсчёта непосредственно трактуется как факты псевдоевклидовой тригонометрии: (14А) (15А)

Релятивистские законы сложения физических скоростей определя­ются законами суммирования гиперболических ротаций (485), (491). Так, последние в виде законов сложения гиперболических отрезков (гл.7А) трактуют и независимость скорости света от движения его источника.

Аналогичные тригонометрические интерпретации имеют место для ряда специальных релятивистских эффектов, относящихся первично ко времени и евклидову подпространству и обусловленных гиперболическим характером их совместных преобразований. То, что масштабный коэффициент, принятый впервые Пуанкаре для координаты времени, равен скорости света в вакууме, следует в результате изложения электродинамики Максвелла - Лоренца или волновой квантовой механики Шрёдингера — Дирака в или в

<Р3+1> в ковариантной релятивистской форме.

Выберем в качестве исходного единичного базиса в котором

пространствуподобная составляющая находится в состоянии

покоя относительно наблюдателя N1. Наблюдатель имеет собственный хронометр и априори инерциален. С ним связано полное множество универсальных базисов относительно N1, определяемое условиями:

(16А)

где рефлектор-тензор имеет вид

(17А)

В базисе и в других универсальных базисах явления описываются с точки зрения относительно неподвижного наблюдателя N1. В них все координатные оси изначально совместно евклидово и псевдоевклидово ортонормированы. Напротив, прочие базисы ортонормированы только псевдоевклидово, а именно следующим образом:

(18А)

где - арифметический квадратный корень типа (443). Это соотноше­ние также означает, что для бинарного декартова базиса ввсе пространственные оси с мнимой четвёртой координатой всегда сферически ортонормированы, а временная ось с мнимой четвёртой координатой всегда сферически антиортонормирована.

В декартовой графике псевдоевклидовы базисы отображаются в четырёхмерном евклидовом пространстве в координатах исходного единичного базиса Последний как универсальный базис является декартовым. Выраженные в нём вектор-столбцы матриц новых базисов определяют расположение координатных осей, сферические углы между ними и евклидовы масштабы по осям.

Базиссогласно (16 А), смещён относительно на сферический тензорный угол Θ. Ротация на угол Θ элементарна и осуществляется в некоторой плоскостиЕвклидово подпространство и

стрела времени остаются теми же, что и в

Пусть новый базис получается чисто гиперболической ротацией

(19А)

Тогда новые координатные оси, согласно (363), полно сферически не ортогональны друг другу и имеют масштабные искажения в евклидовой метрике (хотя бы две из них, включая стрелу времени). Новая единица времени растянута с коэффициентом Новые единицы пространственных осей растянуты с коэффициентами Новые сферические углы между осями (в интервале 0 < β < π) определяются по их косинусам:

Если и искажается только угол

между х1 и х2. Если и углы между

пространственными осями остаются прямыми (двумерный классический вариант Лоренца). В общем случае новый базис, согласно полярному представлению (480), получается последовательно сферической и гиперболической ротациями в элементарной форме:

(20А)

(Здесь все матрицы согласованы с рефлектор-тензором.)

Чисто гиперболическая ротация базиса (19А) физически соот­ветствует равномерному прямолинейному (поступательному) движе­нию суббазиса относительно суббазиса со скоростью Гиперболическая ротация элементарна и осуществляется в псевдоплоскости задаваемой стрелой времени и направлением вектора тангенса th γ или вектора скорости v в В двумерном варианте имеем:

(21 А)

Графически это преобразование сводится к гиперболической ротации обеих осей х(1) ина угол γ (в сторону биссектрисы первого

квадранта при cos α = +1 и в обратную сторону при cos α = -1). Физически это преобразование сводится к движению оси х(2) вдоль оси х(1) со скоростью v (в направлении оси х(1) при cos α = +1 и в обратную сторону при cos α = -1).

Пусть некоторая материальная точка движется (физически) рав­номерно и прямолинейно так, что в нулевой момент времени t = 0 она проходит через начало координат О (общее для всех одноцентровых базисов Тогда её мировая линия есть центральная прямая внутри изотропного конуса. Сам изотропный конус - геометрическое место всех центральных световых мировых линий. Какой-то псевдодекартов базисв котором вышеуказанная материальная точка физически неподвижна, имеет стрелу временисовпадающую с её прямой мировой линией. (Вообще же, все новые координатные оси задаются вектор-столбцами матрицы нового базиса Данная прямая мировая линия или она же - новая стрела временивзаимно-однозначно определяется вуглом γ и направляющими косинусами вектора 1) или также взаимно-однозначно определяется ротацион­ной матрицей roth Г с канонической структурой (363).

Заметим, что во всех формулах и законах, связанных с описанием материальных явлений во времени (процессов), как известно, ∆t > 0 (dt > 0). Соответственно и гиперболический угол движения в любом псевдодекартовом базисе может только увеличиваться (dγ > 0). Это выражает общий принцип возможности физического движения только из прошлого в будущее, то есть по мгновенной стреле собственного времени. Он же тождествен принципу детерминизма для материальных явлений. В СТО этот принцип не противоречит тому, что материальные объекты, имеющие одни и те же начальную и конечную мировые точки, но различные мировые линии между ними, затрачивают в общем случае различное собственное время на всё путешествие, то есть время по собственным хронометрам ("парадокс близнецов"). Следовательно, в тригонометрической форме кинематики теории относительности при активных преобразованиях координат в тензоре движения (21 А) перед углами Г и γ применяется только знак «+». (Отрицательный знак перед данными углами возможен только при мысленных движениях в прошлое, когда применяется антиподная гиперболическая геометрия). Это в определённой степени отличает гиперболическую кинематику СТО от правил движения в геометрии Лобачевского - Больяи.