Дискретно-непрерывная математика (стр. 116 )

* * *

Отметим, что псевдоаналог (223 А) первой формулы Френе - Серре можно вывести тригонометрическим способом, используя как аргумент гиперболический угол движения при дифференцировании в базисе в соприкасающейся псевдоплоскости:

(230 А)

Соответственно для кривых в квазиевклидовом пространстве <Qn+1> (гл. 8А) в базисе в соприкасающейся квазиплоскости имеют место аналогичные тригонометрические соотношения:

(231 А)

Очевидно, что мировая линия, необъемлемая какой-либо псевдо­плоскостью, имеет значение λ≥3. В таком случае отдельный её фрагмент или она в целом как регулярная кривая в каждой собственной точке М наряду с абсолютной гиперболической кривизной (K и k) имеет дополнительный параметр - абсолютное сферическое кручение, причём также в скалярной и векторной формах:

(232А)

Кручение вызывает сферическую ротацию соприкасающейся псевдоплоскости вокруг мгновенной оси или вокруг i(cτ). При этом псевдонормаль р(сτ) претерпевает сферическую часть своей общей ротации (сферической и гиперболической). Сферическая часть ротации р(сτ) как единичного вектора имеет кривизну Т (радиус кривизныи направляющий орт b — вектор бинормали. Поэтому кручение можно также определить как кривизну кривизны, или как кривизну второго порядка.

Для кривой порядка вложения λ = 3 (например, псевдовинтовой линии) бинормаль находится в каждой точке М как единичное ортогональное дополнение к псевдонормали в собственной Такая картина имеет место при криволинейном физическом движении в некоторой евклидовой плоскости, в том числе планетарного типа. В этом случае правая тройка векторов задаёт подвижный трёхгранник Френе в

В самом же общем случае бинормаль и кручение вычисляются совместно в результате 3-го дифференцирования вдоль мировой линии после (222А) и (223А):

(233А)

Бинормаль b(сτ) сферически ортогональна р(сτ) в мгновенной абсолютной плоскости кручения псевдонормали b(сτ), но как 4-вектор она псевдоортогональна р(сτ) и i(cτ) в <P3+1>. В той же последовательности они

задают абсолютный и пока 3-х ортовый мгновенный псевдодекартов базис в Последнее есть мгновенное абсолютное сопри-

касающееся плоское трёхмерное подпространство-время. Кручение Т в окрестности данной точки М - положительная характеристика (для правого 3-х ортового базиса), если вид кривой мировой линии в нём напоминает правый винт, и обратно.

Производная (233А) выражается функционально как псевдоаналог второй формулы Френе — Серре. В силу единичности вектора р(сτ), его дифференцирование вдоль кривой, как и вектора i(cτ) в (223 А), сводится к некоторой ротации. Эта общая ротация в (233А) разложена на две псевдоортогональные друг другу составляющие: гиперболическую и сферическую.

Гиперболическая ротация р(сτ) происходит синхронно с i(cτ) в одной и той же соприкасающейся псевдоплоскости кривизны <P1+1>K(m) вокруг мгновенной бинормали b(сτ) с отрицательной по отношению к (225А) гиперболической угловой скоростью «-ηK(m)».

Сферическая ротация р(сτ) происходит в плоскости кручения вокруг мгновенной i(cτ) с абсолютной сферической угловой скоростью:

(234А)

где- мгновенное внутреннее ускорение кручения

псевдонормали. Как 4-вектор оно направлено по бинормали

(235А)

Абсслютная полная кривизна для общей ротации псевдонормали р(сτ) в векторной и скалярной формах определяются из (233А) как

(236А)

Она времениподобна при К > Т, в том числе при Т = 0, и пространству-подобна при Т > К. Но как кривизна (см. выше) Q > 0. В зависимости от соотношения между Т и К определяется либо гиперболическая, либо вырожденная, либо сферическая угловая скорость общей ротации псевдонормали:

(237А)

где —мгновенное внутреннее ускорение общей ротации

псевдонормали (брутто-параметр). Как 4-вектор оно направлено по соответствующему суммарному вектору полной кривизны ротации псевдонормали q(сτ). При Т = К имеем: Q, w, gQ = 0 (эффект компенсации полной кривизны общей ротации псевдонормали вследствие её вырождения на изотропном конусе).

Отметим также, что в известной монографии Синга, посвященной ОТО, псевдоаналог теории Френе - Серре почему-то утверждается в абсолютных ковариантных производных для искривленного псевдо-риманова пространства-времени. В силу его неизо­тропности формулы - аналоги здесь не могут быть однозначными. Во второй формуле — аналоге (23ЗА) допущена ошибка в знаке перед первой - гиперболической частью ротации псевдонормали. (Если пере­менить знак псевдонормали, то изменятся знаки и в других формулах.)

* * *

При λ = 3 имеет место псевдоаналог третьей формулы Френе - Серре:

(238А)

В этом случае при 4-ом дифференцировании вдоль мировой линии после (222А), (223А) и (233А) ротация бинормали осуществляется синхронно со сферической частью ротации псевдонормали -кручением. Обе эти синхронные ротации происходят в одной и той же мгновенной абсолютной плоскости кручения Кроме того, в этом случае

(239А)

есть плоское подпространство-время событий (λ = 3). Такого рода абсолютное движение проецируется гиперболически на какую-либо евклидову плоскость как криволинейное неравномерное

физическое движение в ней (в общем случае).

Особый частный случай при λ = 3 - псевдовинтовое движение вокруг некоторой (базовой) стрелы временив каком-нибудь Соответственно в проекции на базовоеоно представляется как

равномерное планетарное физическое движение. Оно характеризуется постоянством своих абсолютных параметров (в скалярной форме) и их определённой тригонометрической взаимосвязью. В базисе псевдовинтовое движение реализуется тогда и только тогда, когда выполняются условия:

(240А)

Здесь к универсальному свойству гиперболической ортогональности векторов р и i добавлено требование их сферической ортогональности в <P2+1>Q. Следовательно, они образуют абсолютный универсальный

2-х ортовый базис. Общая ротация псевдонормали (236А) происходит в данном случае именно в базовом Поэтому она обязательно

пространствуподобна. Наиболее просто и наглядно псевдовинтовое движение задаётся в цилиндрических координатах:

(241 А)

где r - вещественный радиус проекции винта на базовое или

радиус планетарного физического движения:

φ — параметрический угол сферической ротации в базовом

а — высота винта для единичного φ.

Данному псевдовинтовому движению отвечает характеристический внутренний гиперболически прямоугольный треугольник с катетами r и а (а > r). Он реализуется в двух вариантах (при значении φ = 1 рад) - либо как плоский треугольник на централизованной секущей псевдоплоскости (содержащей либо как треугольник на боковой цилиндрической поверхности, объемлющей винт. При этом у них общая высота-катет «а», равное основание-катет «r» и поэтому равная гипотенуза, определяемая псевдоевклидовой теоремой Пифагора: