Дискретно-непрерывная математика (стр. 66 )

Следствия

1. Простой несимметричный кореньзадаёт в взаимно­однозначно сферически косогональные проектор, рефлектор и тригоно­метрические функции и однозначно пару эквиранговых ортопроекторов и орторефлектооов. а также тензорный угол и тригонометрические функции

2. Все характеристические проекторыа также тригонометрические функции угла и соответствующие им рефлекторы (тригонометрические корни) в приводятся к согласованным W-формам в одном и том же ортонормированном базисе {Rw} при исходном декартовом базисе

(Наиболее общо аналогичные ''тригонометрические" утверждения имеют место для симметричных и простых несимметричных корней типа

13.8. Моторные тензорные синус, косинус, секанс и тангенс

Тензорный косинус и синус моторного угла формально определя­ются через ротационную ортогональную матрицу (det R = +1 ↔ R = = Rot Ф) как-

Тензорный секанс и тангенс моторного угла пока определим форму­лами:

Очевидны тригонометрические соотношения, аналогичные ранее полученным для проективных функций:

(263)

(264)

Вышеуказанные пары моторных функций коммутативны:

(265,266)

Для углов и функций моторного типа необходимо выполняется усло­вие Канонические W-формы вещественной ортогональной матрицы, а также моторного косинуса и синуса в тригонометрическом базисе имеют вид:

(267)

Далее установим канонические формы моторных функций и угла. Для этого сначала перейдём в комплексный базис диагональной формы синуса, а затем вернёмся в исходный вещественный тригонометри­ческий базис (то есть в базис диагонального косинуса). Это в итоге тождественное модальное преобразование позволяет установить кано­ническую форму моторного угла в тригонометрическом базисе:

(Заметим, что для матриц, комплексифицированных за счёт перехода из декартова в эрмитово ортонормированный базис, при сопряжении используется операция эрмитова транспонирования.) В дополнение к формулам (164) и (170) для углов проективного типа отсюда вытекают родственные соотношения для углов моторного типа:

(268)

(эта формула более очевидна, если использовать ряд Маклорена),

13.9. Взаимосвязь между проективными и моторными тригонометрическими функциями и углами

С учётом (236)-(239), (261), (262) и (267) получаем соотношение:

(269)

(270)

Правило №4. Квадраты и любые чётные степени тензорного угла проективного и моторного типа, а также их тригонометрических функций одноимённого вида равны.

Углы суть симметричный и эрмитов тензоры, приводимые к

тождественным диагональным формам, но в различных ортогональных базисах — декартовом и эрмитово ортонормированном. Здесь, конечно, подразумевается, что например при

Далее для преобразования вещественных тригонометрических функций в их комплексные псевдоаналоги (с целью последующего естественного ввода тензорных гиперболических функций) определим комплексный тригонометрический базис. Ему отвечает модальная матрица соответствующего перехода - псевдоарифметический квад­ратный корень из срединного рефлектора тензорного угла (248):

(271)

При этом подпространству соответствует либо мнимо-

единичный блок (2r < n), либо положительный единичный блок (2r > n), либо этот блок вовсе отсутствует (2r = n). Комплексный тригонометрический базис отличается от вещественного тем, что в нём координаты, соответствующие отрицательным собственным значе­ниям проективного косинуса (то есть ординаты), мнимонизированы: При переходе в комплексный тригонометрический базис косинус и секанс не изменяются, а угол, синус и тангенс трансформируются в псевдогиперболические аналоги. (Далее нижние индексы «r» и «с» отвечают вышеуказанным вещественному и комплексному тригонометрическому базису.)

(272)

(273) (274) (275) (276)

Ниже сопоставлены канонические формы угла и функций в тригоно­метрических базисах - вещественном (слева) и комплексном (справа):

(277) (278) (279) (280) (281) (282) (283) (284)

(285)

(286)

Для ротационной ортогональной матрицы справедливы формулы Муавра и Эйлера:

(287)

В вещественном тригонометрическом базисе это интерпретируется как

В комплексном тригонометрическом базисе это интерпретируется как

(Если в эти формулы подставить m = 1/2 , то таким образом можно вычислить тригонометрический квадратный корень (245) из ротаци­онной матрицы-функции.)

13.10. Деформационные тензорные тригонометрические функции от сферических углов моторного типа

К сферической ротационной матрице-функции ранее формально привело последовательное применение ортогональных рефлекторов, связанных с двумя эквиранговыми линеорами (планарами), согласно (243). Аналогичным образом, с использованием принципа бинарности последовательное применение косогональных рефлекторов, связанных с той же парой эквиранговых линеоров (планаров), формально приводит к определению другого нового понятия - сферической деформационной матрицы-функции. Как и ротационная матрица-функция, она имеет бинарную элементарную тригонометрическую структуру в виде:

При этом подпространствув указанном произведении всегда

соответствует диагонально-единичный блок. В целом же указанная матрица-функция осуществляет сферическую деформацию на тензор­ный угол αB. В аналитической форме это матричное преобразование реализуется аналогично (243) и (244):

Приставка «Def» обозначает деформационную матрицу-функцию от тензорного сферического угла моторного типа. Но если ротационные тензорные функции имеют синусно-косинусную природу, то как бы аналогичные им по формальному определению деформационные тензорные функции имеют тангенсно-секансную природу. (Полной аналогии в сферическом варианте угла здесь, очевидно, нет.) Бинарная тензорная деформация осуществляется также, как и ротация, в тригонометрическом подпространстве (рис. 2) относительно его сферически ортогонального дополнения. Тензорные секанс и тангенс теперь уже вполне естественным путём определяются через сфери­ческую деформационную матрицу соотношениями, аналогичными (259) и (260):