Дискретно-непрерывная математика (стр. 75 )

(В этом произведении опускаются ν" значений

И, наконец, из (404) и (410) выводим генеральное синусное неравенство для пары -линеоров, причём при n > 2

исключительно в модутьной форме:

(411)

Здесь в крайних случаях:

- для хотя бы частично параллельных линеоров,

— для полно ортогональных линеоров.

Для пары эквиранговых линеоров и соответственно для тензорного угла между ними генеральные неравенства (396) и (411) можно объединить в парное тригонометрическое неравенство:

(412)

Оно получается путём применения алгебраического неравенства Коши для средних арифметического и геометрического к квадратам собственных значений косинуса и синуса и суммирования обоих неравенств. Косинусное отношение может быть ненулевым только при исходном условии r1 = r2 = r. Синусное отношение может быть ненулевым только при 2r ≤ n. При этом знак равенства справа в (412) имеет место тогда и только тогда, когда . При r= 1 (то есть для угла между двумя векторами или прямыми) соотношение (412) трансформируется в обычное равенство:

Пусть дана прямоугольная n×r-матрица ранга r. Представим её путём произвольной разбивки в форме совокупности блок-столбцов:

Такой форме матрицы А соответствует некоторый полигранный тензорный угол, задаваемый гранями – линеорами A1, A2,…,Aj. В частности, это есть полирёберный угол, если разбивка осуществляется до вектор-столбцов. Последовательно применив к указанной форме матрицы А генеральное синусное неравенство, получаем в итоге

(413)

Причём знак равенства отвечает варианту взаимно-ортогональных линеоров (векторов). Соотношение (413) наиболее полно обобщает синусное неравенство Адамара. Кроме того, его частным случаем, при­менительно к теории решения линейного уравнения Ах = а, является тригонометрическая формула (122).

Все рассмотренные неравенства в исконной сферической трактовке имеют геометрический смысл применительно к евклидову или квазиевклидову пространству. С другой стороны, в псевдоевклидо­вом пространстве, используя сферическо-гиперболическую синус-тангенсную аналогию, получаем секансные и тангенсные генеральные неравенства гиперболического типа для матричных объектов, заданных сначала в универсальном базисе. В свою очередь, обращая секансное неравенство, получаем неравенство-перевертыш гиперболического типа косинусной природы. Далее эти неравен­ства обобщаются на любые псевдодекартовы базисы с применением фундаментального рефлектор-тензора или срединного рефлектора угла.

Микромодуль 39.

Геометрические нормы матричных объектов

13.24. Квадратичные нормы матричных объектов евклидова (квазиевклидова) пространства

Для любых принятых геометрических норм матриц или матричных объектов требуется, прежде всего, инвариантность по отношению к собственным геометрическим преобразованиям пространства. Например, последние в <Qn+q> задаются рефлектор-тензором. К ним относятся тригонометрически согласованные ротации и рефлексии, а также параллельный перенос. С другой стороны, вподобной

согласованности для ротаций и рефлексий вообще не требуется, так как в нём рефлектор-тензор формально есть обычная единичная матрица. В таких арифметических пространствах для объектов ранга 1 вполне естественно применяется евклидова норма протяжённости. В бинарных тригонометрических отношениях объектов ранга 1 применяются евкли­довы нормы косинуса и синуса, вытекающие из неравенств Коши и Адамара Но для объектов большего ранга евклидова норма (или норма Фробениуса) имеет всего лишь первый порядок, выделяющий её на множестве геометрических норм. В связи с этим для объектов ранга r представляет особый интерес определить аналогичные нормы более высоких порядков - вплоть до величины ранга r. Выбор геометрических норм для r×n-матрицы А или для отвечающего ей линеора возможен, в принципе, двумя способами.

По первому способу сначала вычисляют промежуточную норму для гомомультипликации А'А (в случае исходной симметричной матрицы - для квадрата S2). Она увязывается с её собственными значениями . Следовательно, чтобы далее произвести норму, относящуюся непосредственно к исходной матрице А, нужно из промежуточной дополнительно извлечь положительный квадратный корень. По второму способу норму можно было бы сразу увязать с собственными значениями σi > 0 матричного арифметического корня(для

неотрицательной симметричной матрицы такой корень тождествен исходной матрице S). Однако в общем случае вычисление матричного арифметического корня - довольно сложный и трудоёмкий процесс. С учётом этого обстоятельства в данной работе применяется именно первый способ. Получаемые по нему геометрические нормы именуются как квадратичные ввиду того, что они базируются на генеральной совокупности собственных значений σi2.

Например, для знаконеопределённых симметричных матриц-функций cos Ф, sin Ф, tg Ф и sec Ф тригонометрические квадратич­ные нормы увязывают с собственными значениями их квадратов

Они же при таком подходе одинаковы для тензорных тригонометрических функций проективного и моторного типа.

Предпосылками для корректного определения общих квадратичных норм являются ранее установленные геометрические аналогии типа (125), (127) —, а также генеральное неравенство средних величин в части цепи (11) для средних алгебраических. Ранее анализ соотношений (125) и (127) показал, что коэффициенты Виета для гомомультипликаций матриц имеют вполне ясную геометрическую трактовку. Кроме того, получаемые из коэффициентов Виета малые медианы, согласно цепи (11) генерального неравенства средних величин, укладываются в некоторую иерархическую последовательность. (Медианы, как и ранее, отмечаются чертой сверху.) С учётом вышесказанного определим квадратичные геометрические нормы r×n-матриц порядка t и степени h через внутренние гомомульти­пликации как характеристики двух типов - простые и приведённые:

(414)

(415)

В частности,

Генеральная норма, по определению, имеет порядок r, равный рангу матрицы. Она же при h = r есть минорант матрицы. Генеральные квадратичные тригонометрические нормы степени 1 для тензорного косинуса и синуса (проективных и моторных) определяются аналогичным образом:

(416) (417)

Эти нормы характеризуют скалярно бинарный тензорный угол между линеорами А1 и А2 или между планарами <im А1 > и <im A2 > при условии 2r ≤ n (для косинуса) и при условии r1 + r2 ≤n (для синуса). В случае 2r > n генеральную косинусную норму относят к углу между планарами . При r1+ r2 >n генеральная синусная норма вырождена. В свою очередь, скалярная характеристика

(418)

есть генеральная тригонометрическая норма степени 1 для косинуса бинарного тензорного угла между планарами <im B> и <im B'> при условии 2r ≤ n. В противном случае эту норму относят к углу между планарами <ker B> и <ker B'>. Все вышеуказанные геометрические нормы формально при суть нулевые, а при t = 0 суть

единичные.

Согласно рекуррентной формуле Варинга - Леверье прямого типа или системе уравнений Ньютона, имеется только r независимых геометрических норм. Именно нормы (414) и (415) полностью охарактеризовывают геометрические свойства линейного матричного объекта ранга r, согласно полному набору его геометрических инвари­антов. Квадратичная геометрическая норма порядка 1 и степени 1 есть норма Фробениуса

(419)

(То же справедливо для евклидовой нормы векторов )

С другой стороны, отметим, что если бы нормы определялись, согласно второму способу (см выше), из собственных значений то тогда нормы Фробениуса и Евклида являлись степенными нормами порядка θ = 2

Соответствующий им полный набор алгебраических норм тогда бы имел вид: