Дискретно-непрерывная математика (стр. 33 )

Вводя в рассмотрение пучки матриц два матричных равенства (1) можно заменить одним равенством

(345)

Определение 1. Два пучка прямоугольных матриц одних и тех же размеров т×п, связанные равенством (345), в котором Р и Q — постоянные (т. е. не зависящие от λ) квадратные неособенные матрицы соответственно порядков т и п, мы будем называть строго эквивалент­ными.

Согласно общему определению эквивалентности λ-матриц пучки являются эквивалентными, если имеет место

равенство вида (345), в котором Р и Q — две квадратные λ-матрицы с постоян­ными и отличными от нуля определителями. При строгой же эквивалентности требуется дополнительно, чтобы матрицы Р и Q не зависели от λ .

Критерий эквивалентности пучков следует из общего критерия эквивалентности λ-матриц и состоит в совпадении инвариантных мно­гочленов или, что то же, элементарных делителей пучков.

В настоящем микромодуле будет установлен критерий строгой эквивалентности двух пучков матриц и для каждого пучка будет определена строго эквивалентная ему каноническая форма.

2. Поставленная задача допускает естественную геометрическую интер­претацию. Рассмотрим пучок линейных операторов отображающих Rn и Rm. При определенном выборе базисов в этих пространствах пучку опера­торов отвечает пучок прямоугольных матриц А + λВ (размером т×п); при изменении базисов в Rn и Rm пучок А+λВ заменяется строго экви­валентным пучком где Р и Q — квадратные неособенные матрицы порядков т×п. Таким образом, критерий строгой экви­валентности дает характеристику того класса пучков матриц А+λВ (размером т×п). которые описывают один и тот же пучок операторов отображающих Rn в Rm, при различных выборах базисов в этих пространствах.

Для получения канонической формы пучка нужно найти те базисы в Rn и Rm, в которых пучок операторов описывается возможно более простой матрицей.

Поскольку пучок операторов задается двумя операторами А и В, то можно еще сказать, что настоящий микромодуль посвящен одновременному изучению двух операторов А и В, отображающих Rn в Rm.

3. Все пучки матриц А+λВ размером т×п подразделяются на два основных типа: на регулярные и сингулярные пучки.

Определение 2. Пучок матриц А+λВ называется регулярным, если 1) А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка п и 2) определитель не равен тождественно нулю. Во всех остальных случаях {т≠n или т=п, нопучок называется сингулярным.

Критерий строгой эквивалентности, а также каноническая форма для регу­лярных пучков матриц были установлены К. Вейерштрассом в 1867 г. на основе его теории элементарных делителей. Аналогичные вопросы для сингулярных пучков получили свое разрешение позже, в 1890 г., в исследованиях Л. Кронекера. Результаты Кронекера и составляют основное содержание этого микромодуля.

11.32. Регулярный пучок матриц

1. Рассмотрим частный случай, когда пучки состоят из квадратных матрицВ этом случае, как было доказано ранее, два понятия «эквивалентность» и «строгая экви­валентность» пучков совпадают. Поэтому, применяя к пучкам общий критерий эквивалентности λ-матриц, приходим к теореме:

Теорема 1. Два пучка квадратных матриц одного и того же порядка у которых являются строго эквивалентными в том и только в том случае, когда эти пучки имеют одни и те же элементарные делители в поле К.

Пучок квадратных матриц называется регулярным, поскольку он представляет собой частный случай регулярного матрич­ного многочлена относительно λ 87). Выше мы дали более широкое определение регулярного пучка. Сог­ласно этому определению в регулярном пучке возможно равенство | В | = 0 (и даже

Для того чтобы выяснить, сохранится ли теорема 1 для регулярных пучков (при расширенном определении 1), рассмотрим следующий пример:

(346)

Нетрудно видеть, что здесь каждый из пучков имеет только один элементарный делитель λ + 1. В то же время эти пучки не являются строго эквивалентными, так как матрицы В и В1 имеют соответственно ранги 2 и 1, а из равенства (345), если бы оно имело место, следовало бы, что ранги матриц В и В1 равны между собой. При этом пучки (346) являются регулярными согласно определению 1, так как

Разобранный пример показывает, что теорема 1 неверна при расширенном определении регулярного пучка.

2. Для того чтобы сохранить теорему 1, нам придется ввести понятие о «бесконечных» элементарных делителях пучка. Будем пучок А+λВ задавать при помощи «однородных» параметров Тогда определитель будет однородной функцией от λ, μ. Определяя наиболь­ший общий делительвсех миноров k-го порядка матрицы

получим инвариантные многочлены по извествным формулам

при этом все— однородные относительно λ и μ многочлены.

Разлагая инвариантные многочлены на степени неприводимых в поле К одно­родных многочленов, получим элементарные делители пучка в поле К.

Совершенно очевидно, что, полагая мы вернемся к элементарным делителям пучка. Обратно, из каждого элементарного делителястепени q пучка А+λВ мы получим соответствующий элементарный делитель по формуле

Таким способом могут быть получены все элементарные делители пучказа исключением элементарных делителей вида μq.

Элементарные делители вида μq существуют в том и только в том случае, когдаи носят название «бесконечных» элементарных делителей для пучка А+λВ.

Поскольку из строгой эквивалентности пучков следует строгая эквивалентность пучков то у строго эквивалентных пучков.должны совпадать не только «конечные», но и

«бесконечные» элементарные делители.

Пусть теперь даны два регулярных пучка у которых соответственно совпадают все (в том числе и бесконечные) элементарные дели­тели. Введем однородные параметры: Преобразуем пара­метры: