Дискретно-непрерывная математика (стр. 111 )

В РТГ поле тяготения определяется и действует именно в плоском <Р3+1> как базовом пространстве-времени. Но при математическом описании в нём движения материи (в том числе света) поле тяготения как бы деформирует координатную сетку в <Р3+1 >, изменяя его метрику. Например, формула (210А) в случае простейшего эквивалентного поля тяготения даёт соответствующее ему изменение масштаба времени. Если координаты остаются (полу)геодезическими, то деформированное <Р 3+1> преобразуется вместе с осями координат в искривлённое эффективное псевдориманово пространство-время. Понятно, что топология этих пространств по сути одна и та же - топология аффинного пространства. Формально устранив деформирующее воздействие поля тяготения на координаты, мы также устраним и это кажущееся искривление пространства-времени. В результате приходим к описанию движения в исконном <Р3+1> под действием силы тяготения, как и любой иной собственной силы. В относительной трактовке такие движения рассматривались в гл. 7А. Все расчёты и оценки в сферически симметричном поле тяготения значительно упрощаются, если при этом гравитационный потенциал Р в порядке аппроксимации принимается скалярной характеристикой, как в вышеуказанном примере (210А). Пусть тот же скалярный потенциал отвечает именно относительно неподвижной в некоторой астрономической массе М0. Для реализации такого подхода примем два следующих условия.

1. Система отсчётасвязанная с центром астрономической массы М0, принадлежит множеству галилеевски инерциальных систем, задаваемых системой Маха.

2. Движение материи в поле тяготения астрономической массы М0 описывается именно в в базовом пространстве-времени Минковского.

Центр базиса удобно расположить в центре астрономической массы М0, где собственный гравитационный потенциал последней нулевой из-за отсутствия тяготения. (Последнее было доказано ещё в XVIII веке Кавендишем.) Например, система связанная с центром массы Солнца (система Коперника), с довольно высокой степенью точности может считаться галилеевски инерциальной системой отсчёта и принадлежать множеству.

В связи с этим покажем, что известные наблюдательные обще­релятивистские эффекты, так или иначе вызываемые полем тяготения Солнца, объясняются на элементарном уровне на основе СТО и теории тяготения Ньютона. При этом в расчётах дополнительно учи­тывается формальным образом вышеуказанный эйнштейнов эффект замедления собственного времени в noлe тяготения. Обсуждаемые здесь общерелятивистские эффекты рассматриваются с точки зрения удалённого наблюдателя N1 в как бы вне поля тяготения. Такая аппроксимация даёт первый порядок точности по гравитационной постоянной, что пока только и измеряемо при реальных наблюдениях.

Из (210А) следует приближённая формула, выражающая влияние скалярного гравитационного потенциала на течение собственного времени:

(211 А)

Из неё видно, что собственное время течёт медленнее в той точке, где отрицательный потенциал меньше. При Р1 = 0 = max имеем, что - координатное время в Подставив в (210А) значение ньютонова гравитационного потенциала Солнца, получаем для околосолнечного пространства известную и довольно точную оценку:

(212 А)

В ОТО и в РТГ имеется аналогичная тензорная оценка замедления собственного времени в поле тяготения через угловой скалярный элемент метрического тензора псевдориманова пространства-времени (реального и эффективного):

.

Простейшее и наглядное отображение активной гравитации таково, что поле тяготения в окрестности каждой мировой точки попросту деформирует координатную сетку в <Р3+1>. Например, в стационарном поле тяготения координатакак бы растягивается. В свою очередь, локальные наклоны мировых линий по отношению к как бы уменьшаются, в том числе и наклон изотропного конуса. Но геометрический и физический смысл последнего сохраняется. С учётом этого локальная скорость распространения света, как и других электромагнитных волн (частиц), в поле тяготения с точки зрения удалённого навчюдателя N1 как бы уменьшается следующим образом:

(213 А)

Другой известный и наблюдаемый на Земле общерелятивистский эффект - "красное смещение" спектра излучения Солнца объясняется по Эйнштейну замедлением частоты электромагнитных колебаний на поверхности Солнца, согласно её значительному отрицательному гра­витационному потенциалу:

(214 А)

На величину отклонения, конечно, оказывает влияние эффект Допплера (гл. 7А). Более точная оценка, приближающаяся к вышеуказанной, получается для полюсов вращения Солнца. (Земным потенциалом здесь, конечно, пренебрегают как сравнительно небольшим.)

* * *

В качестве заключительного примера рассмотрим в базисе в <Р3+1> элементарную трактовку самого известного наблюдательного общерелятивистского эффекта - искривления светового луча в поле тяготения Солнца. Данное искривление максимально и обнаружимо при наблюдениях на Земле, когда световой луч от какой-либо звезды (с известными координатами на небосводе) проходит при полном солнечном затмении вблизи солнечного диска. Оно определяется по отклонению траектории светового луча и соответственно угловой координаты звезды. О влиянии аберрации на наблюдение звёзд указано в гл. 7А. Свою лепту в искажение координат звезды (чем она ближе к нам) вносит параллакс. Но эти поправки малосущественны в сравнении с рассматриваемым гравитационным эффектом.

Для элементарной оценки данного эффекта можно принять, что земной наблюдатель N1 физически неподвижен в системе связанной с центром массы Солнца. Искривление светового луча при прохождении вблизи Солнца обусловлено гравитационным притяжением фотонов как световых материальных частиц с собственной массой m1 в Принципиальная особенность такого вида частиц, как известно, заключается в том, что они имеют нулевую массу покоя. Поэтому их собственная масса всегда определяется только в состоянии движения по изотропному конусу по формуле Планка - Эйнштейна. Здесь на изотропном конусе каким-то загадочным образом для массы фотона реализуется раскрытие неопределённости типа

Пусть материальная точка вообще массой m движется относительно астрономической массы М0 с мгновенной скоростью v под углом ε к радиус-вектору r, соединяющему центр массы М0 и точку m. Все эти характеристики выражаются в связанной с центром массы М0. Собственная сила тяготения F массы m0 к массе М есть инвариант в любых галилеевски инерциальных системах отсчёта из множества в том числе в и в Если М0>> m0, то материальная точка

m в каждый момент времени совершает локально псевдовинтовое

движение в <Р3+1> с абсолютным псевдоевклидовым радиусом R. Согласно законам тяготения Ньютона и динамики СТО, вимеем:

(215 А)

Здесь используется разложение собственной силы и внутреннего ускорения на две взаимно-ортогональные проекции - нормальную и тангенциальную (см. гл. 7А), а также формула (205А). В имеем:

Тангенциальная проекция вызывает ускорение движения матери­альной точки m вдоль вектора скорости v. Но для световой частицы (фотона) она только изменяет его массу mL в процессе движения: либо увеличивает, либо уменьшает её в зависимости от направления этой проекции по отношению к вектору v. Понятно, что на искривление траектории светового луча эта проекция никак не влияет. Напротив, нормальная проекция вызывает искривление траектории светового луча локального радиуса ρ. В связи с этим конкретно для фотонов формулы для указанных проекций силы тяготения приобретают вид: