Дискретно-непрерывная математика (стр. 104 )

Рис. 4А. Суммирование двух тангенсных проекций гиперболических отрезков — движений в плоской модели Клейна по теореме о приведении их суммы к биортогональной форме:

Вариант1. Централизованный в треугольник.

Вариант 2. Централизованный впрямоугольный треугольник.

Вариант 3. Децентрализованный втреугольник, компланарный с центром О.

В процессе перекрёстного проецирования начало искажаемого вектора в однородных координатах переносится в точку О' - конец вектора th γ12 (рис. 4А). Искажённый угол ε* между векторами th γ12 и th γ23 в модели Клейна вычисляется через искажённые проекции th γ23, согласно формуле евклидовой скалярной тригонометрии:

(158А)

(если ε = π/2, то он не искажается:

В формуле фигурируют коэффициент искажения k2 и коэффициент лоренцева сокращения (54А), то есть k3, но для модуля вектора th γ23 в целом. Заметим, что в СТО ε* есть реально искажаемый в сферический угол между векторами скоростей v12 и v23 (гл. 4А).

В более общем случае (рис. 4А) искажённый угол ε* между векторами th γ23 и th γ34 в плоской модели Клейна вычисляется через искажённые частные углы ε1* и ε2*, а также неискажённый центральный угол ε0 (между th γ12 и th γ13) с использованием соотношений:

(159 А)

(160А)

(если в зависимости от знаков ε1 и ε2).

В самом же общем случае для пары векторов th γ23 и th γ34 в пространственной модели Клейна искажение угла между векторами тангенсов можно вычислить исходя из биортогонального разложения второго вектора th γ34 в собственном на проекции-параллельно и перпендикулярно характеристической плоскости

Для этого предварительно обобщим формулу (136 А), применив ортогональные собственные проекторы, которые проецируют в данном случае в трёхмерном евклидовом пространстве (или проективной гиперплоскости) ортогонально <ker А'>:

(В трёхмерном пространствеэтот же вектор можно

вычислить через внешнее произведение В данном

случае еη - вектор направляющих косинусов условно ортогонального приращения общего движения по отношению к

В пространстве вектор th γ23 разлагается биортогонально на

проекции:

с направляющими векторамиВ эти проекции не

искажаются и подчиняются теореме Пифагора.

Угол ε* междувыражается по формуле (159 А) и

искажается, согласно (160 А). Угол между остаётся

прямым, то есть не искажается, так как он в целом ортогонален или централизованно прямой, как в варианте 2 на рис. 4А.

* * *

Кинематика поступательного движения материального тела в целом определяется по кинематике материальной точки - центра его инерции. Принципиальное отличие релятивистской кинематики материальной точки от нерелятивистской видно из нижеследующего сопоставления.

В пространстве-времени Лагранжа:

При указанном биортогональном разложении вектор еη как и ранее, вычисляется, согласно (136А). Вращение w(t) не изменяет поступательный характер движения материального тела в целом.

В пространстве-времени Минковского:

В СТО дифференциалы dx и d2x не суммируются, как выше, так как они находятся в различных и подлежат гиперболическому

суммированию через углы движения γ(1) и(см. гл. 5А). При

интегральном неколлинеарном движении точечного объекта в общем случае непрерывно изменяются характеристический угол (скалярное значение) и его вектор направляющих косинусов Параметры исходных и интегральных углов движения представляются в в то время как приращение угла dγ = dγ(m) (дифференциал) пред­ставляется в мгновенном базисеПри вычислении ортопроекций этого дифференциала всогласно (145А), направляющие векторы

выражаются условно в.

Заметим, что d2x(m) и dγ связаны через коэффициент пропорциональности dсτ, или дифференциал дуги: Имеем:

Причём - теорема Пифагора в или в Напомним, что здесъ и далее, согласно (119А), Соответственно в интервале 0÷π/2 все косинусные скалярные проекции положительные, а в интервале π/2÷π они же все отрицательные.

Из (122А) имеем:

(162 А)

Из (135А) с учётом того, что имеем:

(163А) Из (138А) с учётом того, чтоимеем:

(164А)

Здесь ξ и η - нормальные геодезические координаты на подвижном единичном гиперболоиде II. В этих формулах как гиперболический угол, так и направляющие векторы являются функциями соответствующего параметра движения, например τ или t.

Собственная векторная скорость материальной точки выражается из (163А) в виде:

(165А) где:- тангенциальное собственное ускорение,

обобщающее (82А);

- одинаковые нормальные проекции собственного и внутреннего ускорений. В отличие от характеристики в паре не подчиняются теореме Пифагора. Собственная скорость гео­метрически естественным образом представляется в квазидекартовых координатах в через тангенс сферического угла наклона мировой линии по отношению к или в псевдодекартовых координатах в <Р3+1> через синус гипеиболического угла наклона мировой линии по отношению к тому же (см. рис. 2А).