Границы естественнонаучного образования понятий.1896-1902 (стр. 18 )

ГЛАВА 1. ПОЗНАНИЕ ТЕЛЕСНОГО МИРА В ПОНЯТИЯХ 117

Однако в мире остается многообразие не только в числе вещей, но, как уже было указано, оно оказывается налицо и в различии тех отношений, в которых находятся друг к другу последние вещи и в изменении этих отношений. Правда, в понятиях законов мы уже открыли средство для преодоления такого многообразия. Но лишь узнав природу последних вещей, можно точнее указать, в каком смысле и множественность их отношений не оказывается необозримой и непостижимой, и благодаря этому еще несколько дополнить то, что мы сказали относительно понятий отношений и законов, необходимых для преодоления эмпирического многообразия.

всякий предел при образовании действительных целых чисел; к счастью, однако, к ним присоединяется третий принцип, который я называю принципом ограничения, благодаря которому вполне бесконечному процессу образования полагаются известные последовательные пределы, так что у нас получаются естественные отделы в абсолютно-бесконечной последовательности целых действительных чисел, и эти отделы я называю классами чисел».

Первый класс чисел (1) — множество конечных целых чисел: 1, 2, 3 v,

.... за ними следует второй класс чисел (II), состоящий из известных, следующих друг за другом в определенной последовательности, бесконечных целых чисел, затем, лишь по определении второго класса чисел, мы переходим к третьему, четвертому и т. д. Затем Кантор определяет понятие о «мощности» (Machtigkeit). свойственной всякому «множеству» (Menge), как то общее понятие, которое вытекает из «множества» М (т. е. всякого объединения М определенных различных объектов m нашего воззрения или нашего мышления, которые называются «элементами» М, в некоторое целое) благодаря нашей активной мыслительной способности таким образом, что мы отвлекаемся при рассмотрении множества от природы его различных элементов m «а также и от всех отношений элементов, как друг к другу, так и к другим вещам, стало быть, а частности, и от порядка, в котором расположены элементы, и обращаем внимание лишь на то, что есть общего во всех множествах, эгмипилечтных М. А два множества я называю эквивалентными, когда они могут быть взаимно приурочены друг к другу, элемент к элементу» (Mathemaiische Annalen. Bd 46. 1895. Zur Bergriindung der Transfmiten Mengenlehre. § 1). Оказывается, что «для конечных „множеств" „мощность" совпадает с числом элементов, ибо такие „множества" имеют одно и то же число элементов При любом распорядке (Anordmmg), Когда же дело идет о бесконечных „множествах", то до сих пор вообще не было речи о точно определенном количестве элементов, но и им можно было приписать определенную, совершенно независимую от их распорядка, „мощность". Наименьшую „мощность" бесконечных „множеств" надлежало приписать тем „множествам", которые взаимно однозначно приурочиваются к первому классу чисел и поэтому имеют с ним одинаковую мощность».

Далее Кантор определяет мощности высшего порядка и вводит понятие о количестве (Anzahl) элементов «упорядоченного (Wohlgeordnele) бесконечного многообразия». Существеннейшее различие между конечными и бесконечными множествами оказывается в том, что конечное множество представляет одно и то же количество элементов, при всякой последовательности, которую можно дать их элементам, напротив того, множеству, состоящему из бесконечно

118

ГЕНРИХ РИККЕРТ

Как мы знаем, дело идет о телесном мире в пространстве и во времени. Так как в последних вещах не может оказываться налицо качественных различий, то и все различие и всякое изменение в отношениях этих последних вещей должны быть сводимы на различные пространственные и временные определения, т. е. надлежит мыслить себе, что и из отношений вещей друг к Другу удалено всякое качественное многообразие. Или: неизменное может изменять лишь свое положение в пространстве, стало быть, всякое изменение в отношениях последних вещей друг к другу должно оказываться движением.

многих элементов, соответствуют различные количества элементов, смотря но той последовательности, в которой берутся элементы... Каждое множество, обладающее мощностью первого класса, исчислимо при посредстве чисел второго класса и лишь при посредстве таковых, и притом множеству всегда может быть придана такая последовательность его элементов, что в этой последовательности оно исчисляется любым данным числом второго класса чисел, выражающим количество элементов множества по отношению к этой последовательности. Аналогичные же законы имеют силу и для множеств высших мощностей. Так всякое упорядоченное множество мощности второго класса исчислимо при посредстве чисел третьего класса и лишь при посредстве таковых и множеству всегда может быть придана такая последовательность его элементов, что оно в этой последовательности исчисляется при посредстве любого данного числа третьего класса чисел, определяющего количество элементов множества по отношению к указанной последовательности.

Основным понятием всего учения о многообразии оказывается понятие «упорядоченного множества» (der Wohlgeordneten Menge)... Из этого понятия простейшим образом вытекают основные действия с целыми, конечными или определенно-бесконечными числами и законы этих действий выводятся с аподиктической достоверностью из непосредственной интуиции (innere Ansc-hatiung). Пусть даны два упорядоченных множества М и М1, которым, как количества элементов соответствуют а и Р, тогда М + М', опять-таки есть упорядоченное множество, возникающее, если сперва полагается множество М. а затем полагается множество М1 и присоединяется к множеству М. В таком случае множеству М + М1, по отношению к имеющейся тогда последовательности его элементов, соответствует, как количество элементов, определенное число; это число называется суммой и и обозначается + ; при этом оказывается, что если а и р не суть оба конечны, то + вообще отлично от + . Итак, коммутативный закон перестает вообще иметь силу уже для сложения... Ассоциативный закон вообще оказывается имеющим силу, В частности, + ( + у) = ( + ) + у...

Ра вообще отлично от а(3; напротив того, (у) = ()у... Некоторые из новых чисел отличаются от других тем, что они суть числа первоначальные, но здесь свойство последних должно быть охарактеризовано определеннее, причем под первоначальным числом разумеется такое число а, для которого разложение = у, где р есть множитель, возможно не иначе, как в случае, если = 1 или = ; напротив того, множимое и когда дело идет о первоначальных числах а остается до некоторой степени неопределенным... Оказывается, что существуют два рода определенно бесконечных первоначальных чисел, из

ГЛАВА 1. ПОЗНАНИЕ ТЕЛЕСНОГО МИРА В ПОНЯТИЯХ 119

Приходится, правда, предположить необозримо большое число различных движений. В этом многообразии скрывается необозримость эмпирического изменения вещей в том же смысле, как прежде многообразие бесконечно многих единичных форм — в необозримо большом числе последних вещей. Но это многообразие движений оказывается необозримым опять-таки не в том смысле, в котором необозрима воззрительная действительность. Напротив того, движения последних вещей могут быть выражены как математические величины, у которых нет многообразия эмпирического воззрения. Их можно мыслить себе распределенными в ряды таким образом, что они образуют нечто

которых один более приближается к конечным первоначальным числам, тогда как первоначальные числа второго рода имеют совершенно иной характер1... «Я нахожу точки соприкосновения с моими взглядами в философских воззрениях Платона, Николая Кузанского и Джордано Бруно. Но существенное различие состоит в том, что я раз навсегда фиксирую в понятиях различные градации бесконечного в подлинном смысле в классах чисел (I), (IT). (Ill) и т, д. и впервые ставлю себе задачей не только математически исследовать отношения сверхконечных чисел, но и констатировать, и прослеживать их всюду, где они встречаются в природе». Далее, разбирая возражения Аристотеля против реальности бесконечного, Кантор говорит; «К бесконечному числу, если оно мыслится как определенное и законченное, конечно, может быть прибавлено и соединено с ним конечное число, причем последнее вовсе не уничтожается; напротив того, бесконечное число видоизменяется благодаря такому присоединению к нему конечного числа; лишь обратный процесс, присоединение бесконечного числа к конечному, если это последнее полагается сперва, вызывает уничтожение его, причем бесконечное число не изменяется. — Это истинное соотношение между конечным и бесконечным, которое совершенно упустил из виду Аристотель, могло бы оказаться плодотворным не только в анализе, но и в других науках, в особенности в естествознании...».

»К мысли о том, чтобы рассматривать бесконечно-великое не только в форме неограниченно возрастающих и в находящейся в тесной связи с ней форме впервые введенных в XVII столетии сходящихся бесконечных рядов, но и в определенной форме законченно-бесконечного математически фиксировать его в числах, я логически принужден был после многолетних усилий и попыток Прийти почти вопреки своему желанию, так как эта мысль находилась в Противоречии со ставшими дорогими мне традициями. Говоря о традициях, я имею в виду в особенности мнения основателей новейшей философии. Вот некоторые из важнейших мест первоисточников; Locke. Essay о. h. u. lib. II. Cap. XVI и XVII. Descartes - Principia I, 26. Spinoza. Письмо XXIX, cogitata

1 А именно: если г, есть такое первоначальное число второго рода, то всегда = 1. воль скоро а есть какое-либо число меньшее, чем ц; из этого следует, что, если ft и Р суть какие-либо два числа, которые оба меньше, чем, то всегда и произведение сф меньше, чем. Эти числа суть:

1 2 3

…

,,120

ГЕНРИХ РИККЕРТ

непрерывное (ein Konlinuum), причем понятие такового обнимает движения всякой мыслимой или какой угодно величины. И здесь, стало быть, мы приходим к тому, что всякое отношение последних вещей друг к другу подводимо под понятие некоторого непрерывного ряда. И с этой точки зрения необозримое многообразие мира опять-таки превращается в математическое и, следовательно, доступное обозрению многообразие. Ведь как бы далеко мы ни продолжали такой ряд, в нем так же мало, как и в ряде чисел, может встретиться нам что-либо принципиально новое или неизвестное. Напротив того, обилие различных движений вполне постижимо в системе математически формулированных законов движения.