Границы естественнонаучного образования понятий.1896-1902 (стр. 19 )

meiaph. pars. I и П. Leibnitz. Ed. Erdmann. P. 138, 244, 436, 744. Hobbes de Cortore, Cap. VII, 11. Berkeley. Treatise on Ihe princ. of hum. Knowledge CXXVIII—CXXXI.

Более убедительных оснований против введения бесконечных чисел, как те, которые формулированы этими писателями, и теперь нельзя придумать.. Как ни различны учения этих авторов, они согласны между собой по вопросу

0 конечном и бесконечном в том отношении, что понятие числа требует его

конечности... Я же утверждаю, что за конечным и бесконечным находитс

Transfiniium (которое можно назвать также Suprafinitum), т. с. неограниченна

градация модусов, которые по своей природе не конечны, но бесконечны, но

которые, так же как и конечное, могут быть определены при посредстве вполне

определенных и отличных друг от друга чисел. Итак, по моему убеждению,

конечными величинами не исчерпывается область допускающих определение

величин... Если есть первое число второго класса чисел, то имеем:

1 + = ф, напротив того, + 1 = ( + 1), где ( + 1), есть число, вполне

отличное от. Итак, вся суть в положении конечного относительно бесконечного... В силу совершенно своеобразной природы новых чисел часто в одном

и том же числе совмещаются признаки, оказывающиеся диспаратными, когда

дело идет о конечных числах... Число = . 2 и = 1 + . 2. Итак, может

быть рассматриваемо и как четное, и как нечетное число. С другой точки

зрения, если 2 берется как множитель, можно сказать также, что и не есть ни

четное, ни нечетное число, так как не может быть представлено ни в форме

2а, ни в форме 2а + 1». Затем Кантор характеризует отношение своей теории

«бесконечного в подлинном смысле» к воззрениям Спинозы (специально к

теории модусов последнего), Лейбница, в особенности же Болыхано (Paradoxien

des Unendlichen, 1851)... Классы чисел получаются следующим образом: ряд

целых положительных действительных чисел 1,2, 3 ... v,... возникает благодар

повторяемому полаганию (Seizung) и объединению единиц, число v есть

выражение как для определенного конечного количества таких, следующих

друг за другом единиц, так и для объединения полагаемых единиц. Итак,

образование конечных целых действительных чисел основывается на принципе

присоединения единицы к имеющемуся уже образованному числу; я называю

этот момент, играющий роль и при образовании целых чисел высших классов,

первым принципом образования. Количество долженствующих таким образом

быть образованными чисел класса (1) бесконечно велико, и между ними нет

наибольшего числа. Как ни противоречиво было бы, следовательно, говорить

о наибольшем числе класса (I), однако, с другой стороны, нет ничего странного

ГЛАВА 1. ПОЗНАНИЕ ТЕЛЕСНОГО МИРА В ПОНЯТИЯХ 121

Благодаря этому мы дошли наконец до завершения понятия о мире, которое мы должны установить в качестве логического идеала естественнонаучного образования понятий и в приближении к которому состоит логическая задача «последней естественной науки».

После того как мы выработали это понятие, вернемся еще раз к Мысли, намеченной нами в начале этого исследования. Там мы должны были предотвратить недоразумение, состоящее в том, будто утверждаемое нами бесконечное многообразие воззрительной действительности есть не что иное, как понятие некоторой, разложимой на бесконечное множество математических точек, непрерывной среды. Теперь мы

мыслить себе некоторое новое число — назовем его 1 —, которое должно служить выражением того, что дана вся совокупность (I) в его естественной закономерной последовательности. (Подобно тому как v служит выражением того, что некоторое конечное количество единиц сочетается в одно целое). Можно даже мыслить себе вновь образованное число to как предел, к которому стремятся числа V, если под этим разуметь не что иное, как то, что со должно быть первым целым числом, которое следует за всеми числами v, «причем а—v всегда равно » (Miltheilungen zur Lehre vom Transfiniten), т. е. должно быть названо большим, чем каждое из чисел v. Затем, с помощью первого принципа образования получаются дальнейшие числа

+ 1. + 2 ….., + v

Так как при этом у нас не получается наибольшего числа, то мы мыслим себе новое число, которое можно назвать 2ш и которое должно быть первым числом, следующим за всеми предшествовавшими числами v и <о + v; применяя затем к числу 2(о первый принцип, последовательно получаем;

2 + 1, 2 + 2 2+ v. .....

как продолжение предшествовавших чисел.

Очевидно, что логическая функция, доставившая нам оба числа (о и 2ш отлична от первого принципа образования; я называю ее вторым принципом образования целых действительных чисел и определяю его таким образом: если имеется какая-либо определенная последовательность определенных целых действительных чисел, из которых нет наибольшего, то на основании этого второго принципа образования образуется новое число, которое мыслится, как предел упомянутых чисел, т. е. определяется как ближайшее большее всех их число.

Благодаря комбинированному применению обоих принципов образования, последовательно получаются следующие продолжения наших до сих пор образованных чисел;

З, 3 + 1… 3 + V, ....

, + 1… + v....

1 Знак, которым я прежде пользовался, я заменяю отныне знаком, так как знак зачастую употребляется уже для обозначения неопределенных бесконечных. В статье Beitrage Zur Begriindung der transfiniten Mengenlehie (Math. Ann. Bd 46). Кантор обозначает совокупность всех конечных целых действительных чисел знаком v0 (Alef null) и показывает, что это число Alef есть наименьшее сверхконечное число.

122

ГЕНРИХ РИККЕРТ

можем вполне ясно видеть, как мало общего имеют друг с другом оба эти рода бесконечности, из которых один мы можем охарактеризовать как бесконечность эмпирического воззрения, а другой — как бесконечность математически отвлеченную (begriffliche). Напротив того, мы должны прямо-таки противопоставить их друг другу, так как одного рода бесконечность исключает другую. Благодаря математической обработке естественных наук, мы удаляем ту бесконечность, которую представляет нам воззрительная действительность и которую мы, при неспособности нашего сознания дать себе ясный отчет в многообразии действительности во всех его деталях, переживаем как факт. Мы

Но и этим не достигается завершение, так как из чисел + v равным образом ни одно не есть наибольшее. Итак, второй принцип образования побуждает нас к введению ближайшего, следующего за всеми числами + v числа, которое можно назвать со2, к которому в определенной последовательности примыкают числа:

г + + v.

и, применяя оба принципа образования чисел, мы, очевидно, приходим к числам следующей формы:

Vo* + V + + V + V,

но второй принцип побуждает нас затем к полаганню нового числа, долженствующего быть ближайшим большим, чем все эти числа и которое можно обозначить:

Образование новых чисел не имеет конца; благодаря применению общих принципов образования, получаются все новые числа и ряды чисел, имеющие вполне определенную последовательность. Сперва кажется, будто при этом способе образования целых определенно-бесконечных чисел мы не в состоянии хотя бы временно известным образом завершить этот бесконечный процесс, чтобы получить (благодаря этому) ограничение, аналогичное тому, которое, по отношению к классу чисел (Г), в известном смысле фактически существовало: там применялся лишь первый принцип образования и благодаря этому было невозможно выйти из ряда (I). Но второй принцип образования должен был не только вести за пределы прежней области чисел, но и, во всяком случае, оказываться средством, которое в соединении с первым принципом образования дает возможность идти далее всякого предела в образовании понятий целых действительных чисел.

Заметив, однако, что все до сих пор полученные числа и непосредственно следующие за ними удовлетворяют одному условию, причем это условие, раз оно обращается в требование, которому должны удовлетворять все непосредственно за тем долженствующие быть образованными числа, оказывается третьим принципом, присоединяющимся к двум вышеупомянутым: мы назовем его принципом задержка или ограничения. Этот принцип обусловливает, что определяемый при его участии второй класс чисел не только получает высшую мощность, чем (I), но и как раз ближайшую мощность, стало быть вторую.

ГЛАВА I. ПОЗНАНИЕ ТЕЛЕСНОГО МИРА В ПОНЯТИЯХ 123

ставим на ее место математическое понятие некоторого состоящего из скольких угодно частей непрерывного ряда, чтобы, таким образом, вполне упростить данную действительность. Поэтому мы можем прямо-таки признать обращение всякой необозримой бесконечности эмпирического воззрения в доступную обозрению математическую бесконечность последней и окончательной задачей обработки телесного мира при посредстве понятий. Бесконечность действительности необозрима потому, что всякая из ее частей имеет свою своеобразную форму и отличается от всех других частей. Математическая бесконечность некоторого непрерывного ряда доступна обозрению потому, что мы

Упомянутое условие, которому удовлетворяет каждое из определенных до сих пор бесконечных чисел а, заключается в том, что множество чисел, предшествующих этому числу в последовательности предшествующих чисел, имеет мощность первого класса чисел (I)... Мы определяем второй класс чисел (II) как совокупность всех образуемых с помощью обоих принципов образования следующих друг за другом в определенной последовательности чисел а:

. + 1, .... vo + v + ... + v vм, .... , ...a...

которые подчинены условию, что все предшествующие числу а числа, от 1, образуют множество, имеющее мощность класса чисел (/), причем Ц. vo, Vi, ...V|i принимают все конечные целые численные значения со включением нуля и за исключением комбинации:

v0 = v, = ... = у„ = 0.

Новый класс (II) имеет мощность, отличную от мощности первого класса чисел (I)...

При соблюдении трех вышеупомянутых принципов можно с наибольшей уверенностью и очевидностью получать все новые и новые классы чисел

за следует

И Т. Д.

без конца. И весьма важно заметить, что эту вавилонскую башню так называемых '.сверхконечных чисел» можно воздвигать не только потому, что бумага все терпит и математики мнят себя обладающими в некоторых буквах с рядом точек между ними адекватными символами бесконечности, но для любого из сверхконечных чисел можно указать исчислимое им и, таким образом, придать его понятию реальность. Примером множества, мощность которого выше первой, служит совокупность всех дробей и алгебраических иррациональных чисел и, кроме того, тех иррациональных чисел, которые не могут быть рещениями алгебраических уравнений (трансцендентных чисел).1 «И при помощи их можно доходить до всех встречающихся в телесной и духовной природе различных последовательно восходящих мощностей, и получаемые при этом новые числа в таком случае всегда обладают совершенно такой же