Дискретно-непрерывная математика (стр. 10 )

Доказательство. Используя лемму 21.3.1, запишем А в виде и положим Тогда Р

положительно полуопределена и

так что U имеет ортонормированные строки. Из леммы 21.3.1 следует, что матрица Р равна но и в общем случае, если то и Р всегда должна быть (единственным) положительно полуопределенным квадратным корнем из АА*. Если rank А= т, то Р невырожденна, и матрица U =Р-1А определена однозначно. Однако, как мы видели в лемме 21.3.1, при rank А<т строки матрицы Y, со­ответствующие нулевым собственным значениям матрицы Р, до­пускают неединственный выбор; поэтому и U = XY в этом слу­чае определена неоднозначно.

Из доказанного вытекает важный результат для квадратных матриц.

21.3.3. Следствие. Матрица может быть представлена в виде

где Р — положительно полуопределенная, a U — унитарная мат­рицы. Матрица Р всегда определена однозначно, а именно, Если А невырооюденна, то U определена однозначно формулой U== Р-1А. Для вещественной матрицы А и Р, и U можно выбрать вещественными.

Упражнение. Проверить, что доказательство теоремы 21.3.2 можно построить, опираясь на идею предельного перехода, следующим образом. Если А невырожденна, то положить затем и убедиться, что U U * = I. Таким образом, в этом случае Р и U определены однозначно. Если А вырождепна, рассмотреть последовательность матриц и сформировать разложения с однозначно определенными сомножителями. Используя принцип вы­бора 16.1.8, найти бесконечно малую последовательность такую, что последовательность при поэлементно сходится к унитарной матрице U. Поскольку то одновременно причем A = PU. Заметим, что хотя это доказательство теоремы 21.3.2 короче первоначального, оно не дает в случае вырожденной матрицы А конструктивной про­цедуры получения множителей Р и U.

Разложение из теоремы 21.3.2 называют полярной формой или полярным разложением матрицы А. Отметим, что для мат­рицы полного ранга оба сомножителя определяются единствен­ным образом.

Упражнение. Показать, что матрицу гдеможно представить в виде

где матрица имеет ортонормированные столбцы (т. е,

а матрица положительно полуопределена.

Указание. Разложить А* в соответствии с теоремой 21.3.2.

Упражнение. Пусть — заданный ненулевой вектор;

положим Показать, что полярное разложение такой матрицы А имеет вид гдеТаким образом, полярное разложение можно трактовать как распространение на матрицы разложения указанного типа для не­нулевых векторов.

Упражнение. Показать, что квадратную матрицу А можно представить двумя разложениями: А = PU, где и где Их называют иногда «левым» и «правым» полярными разложениями матрицы А. Показать, что выбираемые единственным образом положительно полуопреде­ленные матрицы Р и Q равны тогда и только тогда, когда А — нормальная матрица. Оказывается, что для невырожденной матрицы А однозначно определяемые унитарные матрицы U и W равны всегда (см. упражнение, предшествующее тео­реме 21.3.6).

Упражнение. Не всякая квадратная матрица является нор­мальной, т. е. не всегда верно, что АА* = А*А. Однако матрицы АА* и А*А всегда унитарно подобны. Доказать это, пользуясь полярным разложением из следствия 21.3.3.

21.3.4. Теорема. Пусть есть полярное разложение матрицы АМп. Для того чтобы А была нормальной матри­цей, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Если Р и U коммутируют, то

следовательно, матрица А нормальная. Обратно, для нормальной матрицы А справедливо равенство Замечаем, что обе матрицы Р2 и квадратные н положительно полуопределенные, а положительно полуопределенными квадратными корнями из них, очевидно, будут Р и соответственно. Согласно теореме 21.2.6, положительно полуопределенный квадратный корень единствен, поэтому или

Наша следующая цель — вывести из леммы 21.3.1 сингуляр­ное разложение произвольной (необязательно квадратной) мат­рицы.

21.3.5. Теорема. Матрица ранга k может быть пред­ставлена в виде

де и — унитарные матрицы. Матрица

такова, что

Числа суть неотрицательные квадратные корни из собственных значе­ний матрицы АА* и, следовательно, определены единственным образом. Столбцы матрицы V суть собственные векторы матрицы АА*, а столбцы матрицы W,— собственные векторы матчрицы А*А; обе системы векторов упорядочены в соответствии с расположением собственных значений Если и все собственные значения матрицы АА* различны, то матрица V определена с точностью до правого диагонального сомножителя где все другими словами, если то Если т < п, то матрица W, всегда определена неоднозначно; если п = m и матрица V фик­сирована и, кроме того, матрица А невырожденна, то выбор матрицы W однозначен. При утверждения относительно единственности матриц V и W можно получить, применяя сказанное выше к матрице А*. Для веще­ственной матрицы А все три матрицы и W могут быть взяты вещественными.

Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что m ≤ n (в противном случае, нужно заменить А на А*). Пользуясь леммой 21.3.1, запишем А в виде где X, а Положим возьмем и определим W как матрицу вида столбцы которой должны быть ортонормированным базисом простран­ства Столбцы матрицы Y* уже ортонормированы, поэтому при m < n можно подобрать (хотя и неединственным образом) столбцы матрицы так, чтобы матрица W была уни­тарной. Очевидно, что Утверждения относи­тельно единственности вытекают из соответствующих утверж­дений леммы 21.3.1.