Дискретно-непрерывная математика (стр. 93 )

Элементарные преобразования полиномиальной кубической матрицы называются симметрическими по каким-либо двум индексам, например по индексам i, j, если любое из этих преобразований, совершаемое над сече­ниями ориентации (i), воспроизводится над соответствующими сечениями ориентации (j).

Элементарные преобразования полиномиальной кубической матрицы называются симметрическими, если любое из них, совершаемое над сече­ниями одной ориентации, воспроизводится над соответствующими сечени­ями остальных двух ориентации.

Для обозначения элементарных преобразований всех типов полиноми­альной кубической матрицы применяются те же символы, как и в случае постоянной (неполиномиальной) кубической матрицы.

Точно так же, как и для постоянных кубических матриц и ассоци­ированных с ними алгебраических форм, определяется эквивалентность в поле Р полиномиальных кубических матриц (асимметрических или сим­метрических относительно двух или всех трех индексов) и ассоциированных с этими матрицами алгебраических форм.

25.5. Клеточные пространственные матрицы и операции над ними

1. Возьмем какую-нибудь пространственную матрицу порядка например кубическую матрицу и разобьем ее тремя системами плоскостей, параллельных сечениям ориентации (і), на т3 кубических матриц порядка v. Тогда матрицу А можно рас­сматривать как клеточную кубическую матрицу m-го порядка, элементами которой являются кубические матрицы v-гo порядка. Очевидно, в зависи­мости от разложения числа п на множители матрица А может быть разбита на клетки различными способами. Так, например, кубическую матрицу 6-го порядка можно рассматривать как клеточную кубическую матрицу 2-го порядка, у которой каждый элемент есть кубическая матрица 3-го порядка, и ту же матрицу можно рассматривать как клеточную кубическую матрицу 3-го порядка с элементами, являющимися кубическими матрицами 2-го порядка.

Разбиение пространственной матрицы на клетки представляется целе­сообразным во многих случаях, так как основные операции над клеточными пространственными матрицами совершаются формально по тем же правилам, как и в случае, когда вместо клеток имеем числовые элементы.

Пусть, например, даны две р-мерные матрицы А, В одного и того же порядка п = mv с одинаковыми разбиениями на клетки:

где— р-мерные матрицы порядка v. Чтобы найти сумму матриц А и В, надо согласно определению сложить их соответственные элементы. Однако то же самое произойдет и тогда, когда мы сложим соот­ветственные клетки этих матриц. Следовательно,

Точно так же, умножая все клетки матрицы А на какое-нибудь число t из поля Р, мы умножим на t все элементы этой матрицы. Поэтому

Нетрудно, наконец, убедиться в том, что произведение по какому-нибудь индексу р-мерной матрицы А порядка на q-мерную матрицу а того же порядка равно произведению по тому же индексу клеточной матрицы U порядка т, полученной разбиением А, на клеточную матрицу и того-же порядка, которая подобным разбиением получается из а.

Действительно, пусть две какие-нибудь матрицы, например кубическая матрица и квадратная матрицa а одного и того же порядка п = mv, разбиты одинаковым образом на клетки, так что А и а представляются соответст­венно клеточными матрицами m-го порядка

где

и

— матрицы v-гo порядка. Составим произведение по какому-нибудь из индексов например по индексу k, матрицы U на u, совершая умножение по тому же правилу, как и в случае матриц с числовыми элементами. Получим:

Входящие в последнее выражение произведения вида где — любые из значений представляются кубическими матрицами v-гo порядка:

Следовательно,

Наконец, полагая

и замечая, что имеем:

т. е.

2. Образуем из элементов кубической матрицы п-го порядка все возможные минорные кубические матрицы порядка Число этих матриц равно Чтобы из них можно было составить клеточную кубическую матрицу порядка пронумеруем все сочетаний из п чисел 1, 2, ..., п по v в нормальном, лексикографическом, порядке, в каком, например, следуют сочетания 12, 13, 23 из трех чисел 1, 2, 3 по два. Если сочетания

(5.1)

(5.2)

(5.3)

при этой нумерации имеют соответственно номера то минорную кубическую матрицу v-гo порядка, лежащую в сечениях ориентации матрицы А, определяемых последовательностями (5.1), (5.2), (5.3), будем обозначать через Тогда клеточная кубическая матрица

будет содержать все минорных кубических матриц v-гo порядка, составленных из элементов матрицы А. Согласно терминологии Райса, она называется v-й составной матрицей для А.

Аналогично определяется v-я составная матрица

для р-мерной матрицы

Произведение по какому-либо индексу v-й составной матрицы для р-мерной матрицы А порядка п на v-ю составную матрицу для q-мерной матрицы а того же порядка равно числу умноженному на v-ю составную матрицу для произведения по соответственному индексу матрицы А на а.

В самом деле, возьмем две какие-нибудь матрицы одного и того же порядка п, например кубическую матрицу и квадратную матрицу и составим произведение по какому-либо из индексов i, j, k, например по индексу k, матрицы А на а:

Полагая