Дискретно-непрерывная математика (стр. 122 )

приводим к виду рис. 20, где h, очевидно, всегда можем считать неотри­цательным и вследствие неравенства ∆ > 0 меньшим, чем 2.

Рис. 20.

Если h = 0, то после операций

над матрицей (3.3) получим каноническую матрицу Если же то матрица (3.3) операциями

где — различные между собой вещественные числа, приводится к матрице рис. 21, где

Рис. 21.

Определим теперь так, чтобы они удовлетворяли уравнениям

Полагая в этих уравнениях.

(3.5)

перепишем их в виде

(3.6)

(3.7)

Так както уравнение (3.6) имеет три вещественных различных

корня, среди которых есть по крайней мере один положительный корень. Полагая v равным любому положительному корню уравнения (3.6), нахо­дим из уравнения (3.7)

(3.8)

Отсюда, приняв во внимание равенство вытекающее из (3.6), получаем два вещественных значения λ, которые ввиду различны между собой. Одно из них равно μ, а другое, отличное от μ, равно Полагая и пользуясь выражением (3.5), получаем:

Подвергнув теперь матрицу (3.4) операциям

приведем ее к каноническому виду

Рассматривая, наконец, второй случай, когда легко убеждаемся в том, что матрица А приводится к каноническому виду (І) или (ІІ) в поле комплексных чисел и к каноническому виду (І') или (ІІ) в поле вещественных чисел.

Составим теперь для всех указанных выше канонических матриц, пользуясь выражениями (3.1) и (3.3) гл. III, матрицы А (замечание 3.3 гл. Ill) и В. Будем иметь:

Таблица I

Арифметические инварианты канонических матриц указаны в таб­лице II.

Таблица II

Из последней таблицы заключаем, что среди канонических матриц (І), (ІІ), (ІІІ) нет эквивалентных ни в поле комплексных, ни в поле вещест­венных чисел и что ни одна из этих матриц не эквивалентна в поло ве­щественных чисел канонической матрице (І').

Теорема доказана.

2. Вводя для двойничных кубических форм, ассоциированных с кано­ническими матрицами соответственно обозначения будем иметь в поле комплексных чисел следующие каноническиевиды форм рассматриваемого типа:

(3.9)

(3.10)

(3.11)

В поле вещественных чисел к каноническим формам, кроме указанных выше, относится также форма

(3.9')

Приняв во внимание таблицу I, получим для каждой канонической формы полную систему комитантов (замечание 4.4 гл. III), сведенных в таблице III.

Таблица III

На основании полученных результатов мы можем теперь установить следующую классификацию двойничных кубических форм.

В комплексной области различаем, прежде всего, неособенные формы, у которых дискриминант ∆ не равен нулю, т. е. вторичный ран г (или равен 2, и особенные формы, у которых ∆ = 0, т. е. (или меньше, чем 2. Неособенные формы разлагаются в произведение трех линейно зависимых линейных форм, являющихся попарно линейно независимыми. Представителем их служит каноническая форма (3.9).

Среди особенных форм выделяем те, которые не равны тожде­ственно нулю, т. е. те, у которых первичный ранг r не равен ну­лю, и формы, тождественно равные нулю, у которых r=0. Далее, особенные формы, не равные тождественно нулю, делим на два рода.

I. Формы, разлагающиеся в произведение линейной формы и квадрата такой же формы, линейно независимой от первой. У форм этого рода ковариант Н (или Q) не равен тожде­ственно нулю, т. е. вторичный ранг rА (пли rB) равен 1. Представителем их является каноническая форма (3.10).

II. Формы, являющиеся кубом линейной формы. У форм этого рода ковариант Н (или Q) тождественно равен нулю, т. е.

(или Представитель их — каноническая форма (3.11).

Результаты классификации двойничных кубических форм в комплексной области представлены в таблице IV.

Таблица IV

Та же классификация будет иметь место и в вещественной области, если допустим распадение класса I на два: Іа и Іб в зависимости от знака дискриминанта ∆, т. е. в зависимости от значений сигнатуры не меняющейся при симметрических вещественных элементарных преобразованиях матрицы А. К классу Іа отнесем неособенные формы, для которых т. е. Эти формы, приводящиеся к каноническому виду (3.9), разлагаются в произведение трех линейных форм, из которых одна вещест­венна, а две — мнимые сопряженные. К классу Іб отнесем неособенные формы, для которых т. е. Эти формы, приводящиеся к каноническому виду (3.9'), разлагаются в произведение трех веществен­ных линейных форм.

Упомянутые выше дополнительные результаты классификации двой­ничных кубических форм в вещественной области сведены в таблице V.

Таблица V

3. Геометрическую интерпретацию комитантов полной системы для двойничной кубической формы мы получим, приравнивая эти комитанты нулю и исследуя взаимное расположение точек на прямой, одно­родные координаты которых удовлетворяют полученным уравнениям. При этом, не ограничивая общности, можно рассматривать комитанты канони­ческих форм, сведенные в таблице III. Если двойничная кубическая форма f не равна тождественно нулю, то уравнение f = 0 определяет три точки на прямой. Если форма f при­надлежит классу I, то все эти точки различны между собой. В вещест­венной области, смотря по тому, принадлежит ли форма f классу Iа или Iб, одна из точек, определяемых уравнением f = 0, вещественна и две — мнимые сопряженные или все три точки вещественны.

Если форма f принадлежит классу II, то из трех точек, задаваемых этой формой, две совпадают, а третья от них отлична.

Наконец, форма f, принадлежащая классу III, задает три совпадающие точки прямой.

Равенство ∆ = 0 указывает, что среди трех точек, определяемых урав­нением f = 0, есть совпадающие, поскольку в этом случае форма f — осо­бенная.

Геометрическую интерпретацию ковариантов Н и Q формы f дадим лишь для того случая, когда эта форма—неособенная.

Интерпретация остальных случаев тривиальна и не представляет интереса.