Дискретно-непрерывная математика (стр. 142 )

Полагая

имеем:

Отсюда, полагая

находим где

(1.32)

причем π есть один из корней уравнения

(1.33)

выбираемый аналогично корню τ0 уравнения (1.14) и являющийся в слу­чае поля вещественных чисел неотрицательным корнем (уравнение (1.33) имеет тогда на основании теоремы Декарта по крайней мере один неотрицательный корень.)

Таким образом, имеем каноническую матрицу (рис. 40), где определяются формулами (1.32).

Рис. 40.

Соответствующий относительный инвариант L1, как видно из выраже­ния дискриминанта не равен нулю.

Канонические матрицы (IX), (X), (XI), очевидно, имеют место как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.

Случай III, когда

Подвергая тогда пучок матриц симметрическим элементарным преобразованиям (вещественным в случае поля вещественных чисел), приводящим матрицу А к каноническому виду (ІІІ) (гл. IV, § 3), получим матрицу вида

(1.34)

порождающую кубические миноры 2-го порядка

Следовательно, число элементарных делителей у матрицы (1.34) равно 2 или 1.

В первом случае, как нетрудно убедиться, приходим к канонической матрице (рис. 41), у которой элементарные делители: и характеристика или к канонической матрице (рис. 42), обладающей элементарными делителямии характеристикой

Рис. 41.

Рис. 42.

Во втором случае, когда матрица (1.34) имеет только один элементар­ный делитель, получаем (при каноническую матрицу (рис. 43), где

(мы ограничиваемся одним значенном кубического корня, так как операция над матрицей (XIV) вызывает в ней только замену п на (в —любой мнимый кубический корень из 1). В случае поля вещественных чисел берем вещественное значе­ние кубического корня.), а — простые делители соответствующего дискриминанта имеющего также двукратный делитель μ, или (при b = 0) каноническую матрицу (рис. 44), где — единственный простой делитель соответствующего дискриминанта имеющего также трехкратный делитель μ.

Рис. 43.

Рис 44.

Каждая из матриц (XIV), (XV) имеет элементарный делитель μ и харак­теристику

Канонические матрицы (XII), (XIII), (XIV) имеют, очевидно, место как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.

Что же касается матрицы (XV), имеющей место в поле комплексных чисел, то она сохраняет силу в поле вещественных чисел лишь в том случае, если т. е. если относительный инвариант L3 пучка (1.1) (коэффициент при в разложении дискриминанта пучка) — отрицательный (гл. III, замечание 5.7). В противном случае матрица (1.34) оче­видными вещественными операциями приводится к канонической матрице (рис. 45) с элементарным делителем μ и характеристикой [1], причем — единственный простой делитель соответствующего дискриминанта

имеющего также трехкратный делитель μ.

Рис. 45.

Случай IV, когда r =0.

Тогда форма φ — неособенная, и мы придем, как показано в § 3 гл. IV, к канонической матрице (рис. 46), имеющей место в поле комплексных чисел, а также в поле вещественных чисел, если дискрими­нант формы φ — отрицательный; при получаем каноническую матрицу (рис. 47).

Рис. 46. Рис. 47.

Матрицы (XVI) и (XVI') имеют элементарные делители и характеристику

2. Обратимся теперь к рассмотрению особенного пучка форм (1.1). Так как дискриминантэтого пучка тождественно равен нулю, то на основании формулы (5.13) гл. III дискриминанты форм f, φ базиса пучка равны нулю и, следовательно, обе эти формы — особенные. Поэтому различаем три случая в зависимости от того, будут ли оба рангаособенных форм f, φ равны 2, либо один из них, например r, равен 1 при или r = 0 при

Случай I, когда

Тогда, как и в случае II при рассмотрении неособенного пучка, мы приходим к матрице (1.27), для которой

Следовательно, и матрица (1.27) приводится (при а = 0)

к канонической матрице (рис. 48), обладающей элементарными делителями и характеристикой [(11)], или (при к канонической матрице (рис. 49), имеющей элементарный делитель и характеристику [2].

Рис. 48.

Рис. 49.

Случай II, когда

Тогда, как и в случае III при рассмотрении неособенного пучка, мы приходим к матрице (1.34), для которой

Следовательно,и матрица (1.34) приводится (при к канонической матрице (рис. 50) с элементарным делителем и характеристикой [1] или (при к канонической матрице (рис.51), обладающей элементарным делителем и характеристикой Канонические матрицы очевидно, имеют место как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.