Дискретно-непрерывная математика (стр. 137 )

У параболических гипербол диаметра нет, если е ≠ 0, т. е. если δ = 0, и существует только один диаметр (вещественный в случае вещественной области), если е = 0, т. е. если δ = 1.

У гиперболизмов конических сечений нет диаметра, если е ≠ 0, т. е. если δ = 2, и существует только один диаметр (вещественный в случае вещественной области), если δ = 3.

Таким образом, указанные Ньютоном свойства нераспадающихся линий 3-го порядка вполне характеризуются проективными инвариантами (а также в случае вещественной области) и аффинно-проективными инвариантами (а также в случае вещественной области).

Для характеристики свойств распадающихся линий 3-го порядка слу­жат проективные инварианты

(а также в случае вещественной области) и аффинно-проективные инварианты

(а также в случае вещественной области). Каждому значению инварианта Q0 соответствует простое отношение трех точек пересечения какой-нибудь прямой с пересекающейся в несобственной точке тройкой различ­ных собственных прямых, представляемой канонической формой (3в), где Q0≠ -4.

Простое отношение трех точек прямой имеет при всех изменениях их порядка, вообще, шесть различных значений

(2.41)

где θ — одно из этих значений.

Если же θ является корнем уравнения θ 3 = 1, то среди величин (2.41) различными будут либо три

(2.42)

либо две

(2.43)

Нетрудно убедиться, что для тройки прямых (3в) простое отношение трех точек имеет шесть различных значений (2.41) при Q0≠0 и только три различных значения (2.42) при Q0 = 0; для тройки пересекающихся в несобственной точке различных собственных прямых, представляемой формой (2в), это отношение имеет лишь два различных значения (2.43).

6. Как установлено в п.28.1, кубические тройничные формы (и предста­вляемые ими плоские линии 3-го порядка) в комплексной или в веществен­ной области разбиваются на бесконечное число непересекающихся проек­тивных классов неособенных форм (линий, не имеющих особых точек) и конеч­ное число непересекающихся проективных классов особенных форм (линий, обладающих особыми точками). Пользуясь результатами, полученными в пп. 2 — 5 настоящего параграфа, мы можем далее разбить каждый про­ективный класс на непересекающиеся аффинно-проективные подклассы, со­стоящие из форм (линий), находящихся в аффинно-проективной эквивалент­ности между собой, т. е. переводящихся друг в друга с помощью аффинно-проективных преобразований. Число аффинно-проективных подклассов, соста­вляющих проективный класс, может быть и бесконечным, если они харак­теризуются значениями абсолютных алгебраических инвариантов. Такого рода классификация кубических тройничных форм и пред­ставляемых ими плоских линий 3-го порядка в ком­плексной области дается в нижеследующей таблице 1.

Аффинно-проективная классификация кубических тройничных форм и представляемых ими плоских линий 3-го порядка и вещественной области производится аналогично (упражнение 9). (Чрезвычайное обилие и разнообразие открытых и изученных линий 3-го порядки вызывает, по замечанию , потребность не столько в установлении новых индивидуальных кривых, сколько в более полной систематизации уже изученного материала. Вопросу классификации линий 3-го порядка посвящены работы Ньютона, Стирлинга, Мардоча, Эйлера, Плюккера, Шаля, Мёбиуса, Кэли, к которым примыкают более поздние исследова­ния по этому вопросу , , Барингтона, , и дру­гих геометров. Данные этими авторами классификации линий 3-го порядка исходят не­посредственно из тех или иных геометрических свойств и потому до известной степени произвольны. В отличие от них приведенная в упражнении 9 схема рассматривается как геометрическая интерпретация результатов классификации кубических тройничных форм, данной Соколовым в его работах.)

В таблице 1 канонические формы представляют аффинно-проективные подклассы или их группы. В последнем случае параметры канонических форм, как показано в п. 2, однозначно выражаются через их абсолютные алгебраические инварианты, вследствие чего каждой данной системе воз­можных значений этих инвариантов соответствует одна и только одна кано­ническая форма. Таким образом, фигурирующие в таблице инварианты

составляют полную систему инвариантов кубической тройничной формы над полем комплексных чисел по отношению к группе всех комплексных аффинно-проективных преобразований.

Присоединяя к этой системе инвариант и сигнатуры матриц получим, используя результаты упражнения 9, полную систему инвариантов кубической тройничной формы над полем вещественных чисел по отношению к группе всех вещественных аффинно-проективных преобразований.

Модуль 28.

Индивидуальные тестовые задания

Упражнения к п.28.1.

1. Показать, что матрица формы (1.1) приводится к матрице того же вида, у ко­торой параметр т имеет любое из значений (1.6), с помощью соответственных сим­метрических элементарных преобразований одной из следующих двенадцати групп:

(α) (β)

(γ)

(δ)

где ε — любой из мнимых кубических корней из 1, а п = 0, 1, 2.

2. Указать невырожденные квадратный матрицы, умножение на которые по индексам матрицы формы (1.1) равносильно элементарным преобразованиям упражнения 1.

3. Пусть т0 — любой из корней (1.9) или (1.10) уравнения (1.8), а — соответственно любой из корней (1.10) или (1.9) того же уравнения. Показать, что операции (α) или (β) (см. упражнение 1) над матрицей формы (1.1) с параметром т0 приводит ее к трем матрицам того же вида с параметрами тогда как операции (γ) или (δ) дают три матрицы с параметрами — мнимые кубические корни из 1).

4. Рассматривая параметр т формы (1.1) как абсциссу точки некоторой оси, пока­зать, что пары точек (вещественные корни уравнения (1.5)) и (значения параметра т при образуют гармоническую четверку.

5. Показать, что все корни уравнения (1.18) вещественны, если І>0, и один из этих корней — вещественный, а два — мнимые сопряженные, если І < 0.

6. Каждая из точек пересечения плоской линии 3-го порядка с ее гессианом является точкой перегиба или особой точкой. Наоборот, каждая точка перегиба или особая точка линии 3-го порядка лежит также на ее гессиане. Доказать (Гессе).

7. Форма (1.1) при любом значении параметра т, удовлетворяющем условию проективно эквивалентна в комплексной области канонической форме (ІІІ). Доказать.

8. Форма (1.1) при проективно эквивалентна в вещественной области канонической форме (ІII'). Доказать.

9. Произвести проективную классификацию в комплексной области особенных кубических тройничных форм, не приводящихся к формам с меньшим числом перемен­ных, в зависимости от рангов (двумерных или трехмерных) матриц (гл. III, § 4, упражнение 6), составленных для этих форм.