Дискретно-непрерывная математика (стр. 139 )

α) для тройки (4в) простое отношение трех точек (при всех изменениях их порядка) имеет шесть различных значений, вещественных при и мнимых, попарно сопряженных при , так же как шесть различных мнимых, попарно сопряженных значений имеет это отношение для тройки (3в), если причем в случае мнимых значений будет для тройки (4в) и π для тройки (3в), где Ω — абсолютная величина взятого в промежутке главного значения аргумента мнимого отношения, модуль которого равен 1;

β) для троек (3в) и (4в) при Q0 = 0 простое отношение трех точек имеет только три различных значения:

.

9. Пользуясь результатами упражнений 4 — 8, показать, что в вещественной области разбиение проективных классов кубических тройничных форм и представляемых ими плоских линий 3-го порядка на аффинно-проективные подклассы может быть произве­дено следующим образом:

Модуль 29.

Пучки двойничных и тройничных кубических форм

Результаты, полученные в микромодулях 27 и 28, дополним классификацией пучков двойничных и тройничных кубических форм в зависимости от эле­ментарных делителей соответствующих полиномиальных кубических матриц.

29.1. Классификация пучков кубических двойничных форм

1. Возьмем пучок кубических двойничных форм над нолем комплексных (или вещественных) чисел

(1.1)

где— переменныепараметры, а формы

с соответствующими симметрическими кубическими матрицами

не являющимися одновременно нулевыми, образуют базис пучка.

Пучок (1.1) называем неособенным, если его дискриминант не обращается в нуль тождественно, т. е. при всех значениях параметров λ, μ и особенным, если

Рассматривая неособенный пучок (1.1), будем различать четыре случая в зависимости от того, являются ли обе формы его базиса неособенными (т. е. имеющими дискриминанты не равные нулю) или одна из них, например j, — особенная (т. е. имеющая ранг (двумерный или трехмерный) r=2 при том же значении ранга r' формы φ, либо цри либо, наконец,

Случай I, когда

Тогда пучок матриц соответствующий пучку форм (1.1), подвергаем симметрическим элементарным преобразованиям, приводящим мат­рицу А к каноническому виду (I) (гл. IV, § 3).

В результате получим полиномиальную матрицу вида

(1.2)

Порождаемые ею кубические миноры 2-го порядка представляются выражениями

(1.3)

Таким образом, число элементарных делителей матрицы (1.2) может быть равным 2, 1 или 0. Сообразно с этим будем рассматривать следу­ющие три варианта.

Вариант 1: матрица (1.2) имеет два элементарных делителя.

Тогда и если то, полагая мы будем иметь каноническую матрицу (рис. 22) с двумя различными элементарными делителями и характеристикой [11].

Рис. 22.

Если же то, полагая мы получим каноническую матрицу (рис. 23), имеющую два одинаковых элементарных делителя: Ее характеристика — [(11)].

Рис. 23.

Вариант 2: матрица (1.2) имеет только один элементарный делитель.

Тогда детерминанты (1.3) должны иметь общий делитель вида который и будет элементарным делителем матрицы (1.2).

Следовательно,

(1.4)

Кроме того, будет делителем соответствующего матрице (1.2) дискриминанта

(1.5)

причем кратность этого делителя не меньше двух.

Пусть элементарный делитель матрицы (1.2) является двукратным делителем дискриминанта (1.5) и — остальные его делители.

Тогда

(1.6)

Из равенств (1.4), (1.6) находим:

Отсюда получаем две системы значений для а, b, с, d:

(1.7)

и

(1.7')

где

(1.8)

Для канонической матрицы выбираем любую из этих систем, например (1.7), так как соответствующие им матрицы операцией переводятся друг в друга. При этом мы ограничиваемся одним каким-либо значе­нием каждого из кубических корней (веще­ственным в случае поля вещественных чисел), так как с и d, кроме значений определяемых формулами (1.8), могут еще иметь только значения εγ и (где ε — лю­бой из мнимых кубических корней из 1), в чем легко убедиться, сравнивая выраже­ния произведения cd, определяемые из ра­венств (1.4) и (1.8); но тогда операция над матрицей (1.2) приводит к ма­трице того же вида, где только с заменяется на и d на

Таким образом, если элементарный делитель матрицы (1.2) является двукратным делителем дискриминанта (1.5), то каноническая матрица имеет вид (рис. 24), причем

определяются формулами (1.8), где

Рис. 24.

Если же элементарный делитель матрицы (1.2) является трех­кратным делителем дискриминанта (1.5) и — его простой делитель, то мы приходим к матрице