Дискретно-непрерывная математика (стр. 16 )

тогда и

Произведение ВА положительно полуопреде - лено по предположению. Итак, существует преобразование вида (21.4.12), где V =І/, приводящее к коммутирующей паре матриц с положительно полуопределенным произведением. Сами же матрицы и могут не быть положительно полуопределен­ными; чтобы добиться их положительной полуопределенности, может потребоваться еще одно преобразование вида (21.4.12).

(2) Не ограничивая общности, можем теперь предполагать, что т=п, А и В коммутируют и произведение АВ положи­тельно полуопределено. Если где то

Таким образом, каждое собственное подпространство эрмитовой мат­рицы АВ инвариантно относительно А. Аналогичным образом показываем, что каждое из этих собственных подпространств инвариантно относительно В. Отсюда следует, что если — все различные (неотрицательные) собственные значе­ния положительно полуопределенной матрицы АВ с кратностями соответственно а

— унитарная матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы АВ, причем собственные век­торы, отвечающие одному и тому же собственному значению, расположены подряд, то обе матрицыи должны быть блочно-диа - гональными:

здесьи

(3) Не ограничивая общности, можем теперь считать, что

и В коммутируют и где

Если0, то А и В невырожденны и В соответствии

с теоремой 21.4.9 найдем унитарную матрицу такую, что

матрица положительно определена. Но тогда матрица

также положительно определена в силу положительности λ и положительной определенности матрицы Далее, т. е. и коммутируют. Данное преобразова­ние (от А, В к ) имеет вид (21.4.12), поэтому в случае доказатель­ство закончено.

Если тоСнова выберем унитарную матрицу U так, чтобы матрица AU была положительно полуопределе­на. Тогдат. е. AU и U*B коммутируют, а потому каждое собственное подпростран­ство эрмитовой матрицы AU инвариантно относительно U*В. Пусть— все различные (неотрицательные) собственные значения положительно полуопределенной матрицы

— унитарная матрица, столбцы которой

являются собственными векторами матрицы AU, причем соб­ственные векторы, отвечающие одному и тому же собственному значению, расположены подряд; тогда обе матрицы и блочно-диагональные:

Одноименные матрицы имеют одинаковый порядок и

Для всех справедливы равенства Еслитообра-

зуют требуемую коммутирующую пару положительно полуопре­деленных матриц. Если то матрица не обязательно нулевая, но тогда должна найтись унитарная матрица Uі, та­кая, что положительно полуопределена (нужно применить теорему 21.4.9 к В этом случае матрицы и со­ставляют коммутирующую положительно полуопределенную пару, получаемую преобразованием вида (21.4.12). Тем самым завершено исследование всех возможных случаев.

21.4.13. Пример. Рассмотрим следующий вариант задачи о вра­щениях 21.4.8. Пусть заданы матрицы и нужно определить, не может ли А быть получена двусторонним «вра­щением» матрицы В, т. е. не будет ли для некоторых унитарных матриц Более общо, если рассмат­ривать всевозможные двусторонние «вращения» UBV данной матрицы В, то насколько хорошо можно ими аппроксимировать А в смысле наименьших квадратов?

Как и прежде, будем искать унитарные матрицы и минимизирующие функцию Как и прежде, находим

Итак, нужно найти унитарные матрицы мак-

симизирующие функцию Оптими-

зирующие унитарные матрицыдля этой задачи должны

существовать (хотя и необязательно определяются единствен­ным образом), поскольку множества унитарных матриц в Мп и Мт компактны и декартово произведение компактных множеств также компактно. Оптимизирующие матрицы обладают тем свойством, что

для любой унитарной матрицыЭто означает, согласно

теореме 21.4.9, что матрица положительно полуопределена. Но и

какова бы ни была унитарная матрицаСнова по тео­реме 21.4.9 заключаем, что матрица положительно полуопределена. Итак, матрицы и удовлетворяют предположениям теоремы 21.4.10. Поэтому, пола­гая имеем