Дискретно-непрерывная математика (стр. 125 )

приходим к канонической форме φ, определяемой равенством (1.1).

Для относительных инвариантов S и Т формы φ находим по формулам (4.14) и (4.17) гл. III выражения

Тогда дискриминант R и абсолютный инвариант I формы φ пред­ставляются согласно формулам (4.22) и (4.23) гл. III в виде

(1.3)

и

(1.4)

Из равенства (1.3) заключаем, что каноническая форма φ, предста­вляющая, так же как и данная формa f, линию без особых точек, — не­особенная.

Действительно, в противном случае из равенства R = 0 следует, что параметр m имеет значения, равные А тогда форма φ разлагается соответственно в произведения линейных множителей

представляющие тройки прямых, образующих три сизигетических треуголь­ника (четвертый сизигетический треугольник, представляемый произведением Х1Х2Х3, принят за координатный), и точки пересечения сторон каждого из этих треугольников являются особыми точками.

Таким образом, форма φ, а следовательно, и приводящаяся к ней форма f — неособенные.

2. Если абсолютный инвариант I неособенной формы f имеет конечное значение, то ему соответствуют в комплексной области двенадцать различ­ных значений параметра m канонической формы φ, являющихся корнями уравнения 12-й степени

(1.5)

к которому приводится выражение (1.4).

Все эти корни рационально выражаются через любой из них. Именно, выражения

(1.6)

где m0, отличное от вследствие неравенства нулю дискриминанта R, есть любой корень уравнения (1.5), представляют все двенадцать корней этого уравнения. В этом легко убедиться, подвер­гая матрицу формы φ симметрическим элементарным преобразованиям, при­водящим ее к матрице того же вида, в которой параметр m может иметь любое из значений (1.6) (упражнение 1).

Таким образом, все неособенные кубические тройничные формы с одним и тем же конечным значением абсолютного инварианта I эквивалентны в поле комплексных чисел канонической форме (1.1), у которой параметр т равен любому из корней уравнения (1.5). (Здесь и в дальнейшим эквивалентность двух кубических тройничных форм (или их матриц) может быть названа проективной, поскольку невырожденные линейные преобразования формы (или соответствующие симметрические элементарные преобразо­вания ее матрицы), при помощи которых одна из форм (или их матриц) переводится в другую, равносильны проективным преобразованиям плоскости.) В частности, при S = 0, когда I= —1, параметру т можно дать любое из значений являющихся корнями уравнения

(1.7)

При параметр т в канонической форме φ согласно формуле (1.4) имеет в комплексной области шесть различных значений, являющихся корнями уравнения 6-й степени

(1.8)

Эти корни равны

(1.9)

(1.10)

где

,

Давая т какое-нибудь из значений (1.9), (1.10), всегда можно указать невырожденное линейное преобразование формы φ, приводящее ее к форме того же вида, в которой параметр т имеет любое из шести его значений (упражнение 3).

Итак, неособенные кубические тройничные формы над полем комплекс­ных чисел можно разбить на три типа в зависимости от значений абсо­лютного инварианта І. К 1-му типу отнесем формы, у которых І имеет конечное значение, отличное от —1, ко 2-му типу — формы, у которых и к 3-му типу — формы с абсолют-

ным инвариантом Представителями этих трех типов являются канонические формы вида (1.1), где параметр т равен соответственно любому корню уравнений (1.5), (1.7), (1.8).

3. В вещественной области конечному значению абсолютного инвари­анта І неособенной формы f соответствуют два вещественных значения параметра т канонической формы φ, поскольку уравнение (1.5) имеет тогда два и только два вещественных корня. Обозначая их через т0 и т'0, имеем:

При этом, очевидно, оба корня отличны от

Так как значения относительного инварианта Т формы φ при значениях параметра m связаны соотношением

то соответственные значения инварианта ω(Т) (замечание 4.5 гл. III) раз­личны и, следовательно, канонические формы

(1.12)

(1.13)

не являются проективно эквивалентными в поле вещественных чисел.

Пусть

Тогда параметры этих форм в зависимости от значения их абсолютного инварианта I принимают, как легко убедиться, следующие значения

При когда формы (1.12), (1.13) принимают соответственно вид

Последнюю форму можно упростить, подвергая соответствующую мат­рицу операциям

В результате получим каноническую форму

При параметр m формы φ в вещественной области имеет, как это видно из формул (1.4) и (1.11), только одно вещественное значение точно так же при существует единственное вещественное значение параметра т, равное

Соответственные канонические формы

в поле вещественных чисел уже не будут проективно эквивалентными. Их можно упростить, подвергая соответствующие матрицы операциям

где т имеет упомянутые выше вещественные значения. В результате получим канонические формы

и

Итак, неособенные кубические тройничные формы над полем веществен­ных чисел можно классифицировать следующим образом в зависимости от значений их инвариантов I и ω(Т),

Различаем, прежде всего, два рода неособенных форм, смотря по тому, будет ли I > 0 или I < 0. Далее, формы I рода, у которых I > 0, подраз­деляем на два вида в зависимости от того, отличается ли I от + ∞ или же I= + ∞; формы 1-го вида разбиваем на два типа, смотря по тому, будет ли или Формы II рода, у которых I < 0, подразделяем на три вида в зависимости от того, будет ли среди форм 1-го вида различаем формы, у которых I> — 1 или I < — 1, и каждую из этих двух категорий форм, так же как и формы 2-го вида, у которых I= — 1, разбиваем на два типа, смотря по тому, будет ли или